Коррелированный (или парный) Т-тест
Коррелированный t-тест выполняется, когда образцы обычно состоят из согласованных пар одинаковых единиц или когда есть случаи повторных измерений. Например, могут быть случаи, когда одни и те же пациенты проходят тестирование повторно – до и после получения определенного лечения. В таких случаях каждый пациент используется в качестве контрольного образца против самого себя.
Этот метод также применяется в случаях, когда образцы каким-либо образом связаны или имеют совпадающие характеристики, например, сравнительный анализ с участием детей, родителей или братьев и сестер. Коррелированные или парные t-тесты относятся к зависимому типу, так как они включают случаи, когда два набора выборок связаны.
Формула для вычисления t-значения и степеней свободы для парного t-критерия:
Как правильно обращаться с выбросами
До сих пор мы видели методы, которые помогут нам найти выбросы в нашем наборе данных. Но что делать, если вы знаете, что есть выбросы.
Вот несколько методов, которые вы можете использовать для обработки выбросов, чтобы ваш анализ данных был правильным.
Удалить выбросы
Самый простой способ удалить выбросы из набора данных — просто удалить их. Таким образом, это не исказит ваш анализ.
Это более жизнеспособное решение, когда у вас большие наборы данных и удаление пары выбросов не повлияет на общий анализ. И, конечно же, перед удалением данных обязательно создайте копию и выясните, что вызывает эти выбросы.
Нормализовать выбросы (отрегулировать значение)
Нормализация выбросов — это то, что я делал, когда работал полный рабочий день. Для всех значений выбросов я бы просто изменил их на значение, немного превышающее максимальное значение в наборе данных.
Это гарантирует, что я не удаляю данные, но в то же время я не позволяю этому искажать мои данные.
Чтобы дать вам реальный пример, если вы анализируете маржу чистой прибыли компаний, где большинство компаний находится в пределах от -10% до 30%, а есть несколько значений, превышающих 100%, я просто изменит эти выбросы на 30% или 35%.
Итак, вот некоторые из методов, которые вы можете использовать в Excel для поиска выбросов .
После того, как вы определили выбросы, вы можете углубиться в данные и посмотреть, что их вызывает, и в то же время выбрать один из методов обработки этих выбросов (который может удалить их или нормализовать, изменив значение)
Надеюсь, вы нашли этот урок полезным.
Как найти выбросы в Excel (и как с ними справиться)
Пример использования т-критерия Стьюдента
А пример будет достаточно простой: мне интересно, стали ли люди выше за последние 100 лет. Для этого нужно подобрать некоторые данные. Я обнаружил интересную информацию в достаточно известной статье The Guardian (Tall story’s men and women have grown taller over last century, Study Shows (The Guardian, July 2016), которая сравнивает средний возраст человека в разных странах в 1914 году и в аналогичных странах в 2014 году.
Там приведены данные практически по всем государствам. Однако, я взял лишь 5 стран для простоты вычислений: это Россия, Германия, Китай, США и ЮАР, соответственно 1914 год и 2014 год.
Общее количество наблюдений – 5 в 1914 году в группе 1914 года и общее значение также 5 в 2014 году. Будем думать опять же для простоты, что эти данные сопоставимы, и с ними можно работать.
Дальше нужно выбрать критерии – критерии, по которым мы будем давать ответ. Равны ли средние по росту в 1914 году x̅1914 и в 2014 году x̅2014. Я считаю, что нет. Поэтому моя гипотеза это то, что они не равны (x̅1914≠x̅2014). Соответственно альтернативная гипотеза моему предположению, так называемая нулевая гипотеза (нулевая гипотеза консервативна, обратная вашей, часто говорит об отсутствии статистически значимых связей/зависимостей) будет говорить о том, что они между собой на самом деле равны (x̅1914=x̅2014), то есть о том, что все эти находки случайны, и я, по сути, не прав.
Для чего используется t-критерий Стьюдента?
t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента
В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?
Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).
При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.
Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?
Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n1 и n2). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:
После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).
Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:
- Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
- Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.
Вы можете внести данные для расчета критерия Т-Стьюдента поочередно вручную или скопировать их из вашего Excel файла.
15.3 Допущения t-теста
Чтобы подсчет p-value был корректным, некоторые допущения должны быть выполнены.
Нормальное распределение
Это самое известное допущение, но чуть ли не наименее важное. Часто утверждается, что выборки должны быть взяты из нормального распределения
Это не совсем так: да, верно, это достаточное условие, но не необходимое. В первую очередь, важно именно выборочное распределение (средних разниц или разниц средних), которое достигается за счет центральной предельной теоремы () особенно при большой выборке (). Отсюда и все правила в духе “для t-теста распределение должно быть нормальным, но если n > 30, то это необязательно.” Откуда именно 30? Да ниоткуда, просто. Как и со всеми точными числами в статистике.
Для проверки на нормальность существуют различные статистические тесты. Самый известный из них — тест Шапиро-Уилка. Его можно провести в R при помощи функции .
В нашем случае p-value больше 0.05, что логично: мы взяли эту выборку именно из нормального распределения. Если p-value меньше уровня \(\alpha\), который у нас стандартно 0.05, то мы можем отвергнуть нулевую гипотезу о том, что выборка взята из нормального распределения. Если это так, то нам нужно, по идее, отказаться от t-теста и использовать непараметрический тест, который не имеет требований к распределению исследуемой переменной.
Однако проведения теста на нормальность для проверки допущения о нормальности — вещь довольно бессмысленная. Дело в том, что тест Шапиро-Уилка — это такой же статистический тест, как и все прочие: чем больше выборка, тем с большей вероятностью он “поймает” отклонения от нормальности, чем меньше выборка, тем с меньшей вероятностью он обнаружит даже серьезные отклонения от нормальности. А нам-то нужно наоборот! При большой выборке отклонения от нормальности нам не особо страшны, а при маленькой тест все равно ничего не обнаружит. Более того, идеально нормальных распределений в природе вообще почти не существует! А это значит, что при достаточно большой выборке тест Шапиро-Уилка практически всегда будет находить отклонения от нормальности. Все это делает его малоинформативным при тестировании допущения о нормальности. Это же верно и для других тестов на нормальность.
Другой способ проверять допущение о нормальности — это проверять визуально с помощью гистограммы или Q-Q plot (см. @ref(lm_a))
Где можно допустить ошибку
Считать юнит-экономику для всей компании в целом. Показатели юнит-экономики нужно считать отдельно для каждого канала привлечения клиентов. Нельзя взять всех людей, которых вы привлекаете, и рассчитать показатели на них. В таком случае получите недостоверные данные.
Один из каналов может быть убыточным, а другой — приносить прибыль. Если считать все вместе, можно не заметить, что деньги расходуются впустую.
Не учитывать стоимость привлечения клиента. С товарами в физическом мире все довольно просто: их легко разложить на составляющие. Ошибки чаще всего случаются при расчетах юнит-экономики для услуг или в ИТ-сфере.
Юнит-экономика такой модели убыточна. Масштабировать бизнес нельзя: если вложить больше денег в рекламу, компания еще быстрее будет тратить деньги.
Не учесть расход на эквайринг. Эквайринг обычно оплачивают по процентной схеме: чем больше выручка, тем больше денег тратит компания на эквайринг. Может случиться так, что затраты на эквайринг будут значительны, тогда метрики юнит-экономики будут недостоверны.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Достоинства и недостатки юнит-экономики
Достоинства. Юнит-экономика — простой и удобный инструмент для анализа бизнеса. На основании метрик юнит-экономики можно наглядно увидеть, где компания теряет деньги, где выгоднее привлекать клиентов и стоит ли вкладываться в тот или иной канал привлечения. ARPU помогает понять, какую максимальную цену можно платить за привлечение клиента.
Недостатки. При расчетах юнит-экономики используются не самые простые формулы, учитывается конверсия, количество повторных покупок одного клиента и прочее — все это сложно посчитать для любого бизнеса.
К тому же не мала вероятность ошибки в расчетах. Чтобы их было меньше, лучше пользоваться таблицами для расчета и реальными данными из системы учета, рекламных кампаний.
Достоинства и недостатки точки безубыточности
Плюсы точки безубыточности:
- простота: состоит из нескольких показателей, простая формула, рассчитать можно вручную на калькуляторе;
- наглядность: можно понять связь между прибылью и постоянными, переменными затратами, между прибылью и объемом реализации.
Минус — ограниченность: модель больше рассчитана на условия стабильного рынка. Например, при расчете сложно учесть резкие колебания спроса, сезонность, изменения конкурентной среды, появление новых технологий и т. д. Все это ведет к погрешностям.
Подписка на новое в Бизнес-секретах
Подборки материалов о том,
как вести бизнес в России: советы юристов и бухгалтеров,
опыт владельцев бизнеса, разборы нового в законах,
приглашения на вебинары с экспертами.
Подписываясь на рассылку, вы соглашаетесь
с политикой конфиденциальности
Шаблон для расчета юнит-экономики
Считать юнит-экономику можно просто на листе бумаги, но удобнее это делать в таблице. Мы сделали таблицу для расчета юнит-экономики, чтобы вы могли просто подставить свои значения и рассчитать юнит-экономику бизнеса.
В таблице два листа: первый — для расчета себестоимости, второй — для расчета дохода с пользователя. Перейдите по ссылке на таблицу и скопируйте ее себе.
Таблица для расчета юнит-экономики
Себестоимость. Разложите продукт на составляющие. Укажите отпускную цену. Себестоимость и маржинальная прибыль рассчитываются автоматически.
В серых ячейках — формулы, все остальное можно менять
Доход на одного пользователя. В таблицу внесены готовые формулы для расчета показателей ARPU, ARPС и ARPU − CPA. Изменяйте исходные значения и смотрите, как меняется прибыль компании.
Верхняя таблица — ваши исходные значения, на их основе рассчитываются показатели нижней таблицы
Что такое выбросы и почему их важно найти?
Выброс — это точка данных, которая выходит за рамки других точек данных в наборе данных. Если у вас есть выброс в данных, это может исказить ваши данные, что может привести к неверным выводам.
Приведу простой пример.
Допустим, 30 человек едут на автобусе из пункта назначения А в пункт назначения Б. Все люди относятся к одной весовой группе и группе доходов. Для целей этого руководства давайте рассмотрим, что средний вес составляет 220 фунтов, а средний годовой доход — 70 000 долларов.
Сейчас где-то посередине нашего маршрута автобус останавливается, и в него садится Билл Гейтс.
Как вы думаете, как это повлияет на средний вес и средний доход людей в автобусе?
Хотя средний вес вряд ли сильно изменится, средний доход пассажиров автобуса резко вырастет.
Это связано с тем, что доход Билла Гейтса является исключением в нашей группе, и это дает нам неправильную интерпретацию данных. Средний доход каждого человека в автобусе составит несколько миллиардов долларов, что намного превышает реальную стоимость.
При работе с фактическими наборами данных в Excel вы можете иметь выбросы в любом направлении (например, положительный выброс или отрицательный выброс).
И чтобы убедиться, что ваш анализ верен, вам нужно каким-то образом идентифицировать эти выбросы, а затем решить, как лучше всего их лечить.
Теперь давайте посмотрим несколько способов найти выбросы в Excel.
15.1 Одновыборочный t-тест
Мы научились делать z-тест. Однако на практике он не используется, потому что предполагает, что мы откуда-то знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности. На практике это обычно не так, поэтому мы оцениваем стандартное отклонение в генеральной совокупности на основе стандартного отклонения по выборке. Это приводит к тому, что тестовая статистика уже не распределена нормально, а распределена согласно t-распределению. Ну и статистика уже называется t-статистикой.
\[t = \frac{\overline{x} — \mu} {s_x / \sqrt{N}} \]
Форма этого распределения очень похожа на форму нормального распределения, но имеет более тяжелые “хвосты” распределения. При этом эта форма зависит от размера выборки: чем больше выборка, тем ближе распределение к нормальному. Этот параметр распределения называется степенями свободы (degrees of freedom) и вычисляется как \(N — 1\), где \(N\) — это размер выборки.
Как видите, чем больше выборка (и количество степеней свободы соответственно), тем ближе t-распределение к стандартному нормальному распределению. При 100 степенях свободы они уже почти не различимы! Поэтому на больших выборках разница между t-тестом и z-тестом будет минимальна, тогда как на маленьких выборках разница может быть значительной.
Давайте посчитаем t-статистику на тех же симулированных данных:
Давайте для сравнения еще раз посчитаем z-статистику:
Как видите, расчет довольно схожий, разница только в том, откуда мы берем стандартное отклонение. Для z-статистики у нас был заранее известный параметр генеральной совокупности (что обычно не так), для t-статистики мы оценивали стандартное отклонение по выборке.
Давайте теперь посчитаем p-value. Мы будем пользоваться не функцией , а функцией , а в качестве параметра распределения указать количество степеней свобод в
Функция считает от минус бесконечности до \(t\), а нам нужно от \(t\) до плюс бесконечности, потому что \(t\) больше 0:
И не забываем умножать на 2, если мы хотим сделать двусторонний тест.
В отличие от z-теста, t-тест есть в базовом R.
Критические точки распределения Стьюдента
| Число степеней свободы k | Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) | |||||
| 0.10 | 0.05 | 0.02 | 0.01 | 0.002 | 0.001 | |
| 1 | 6.31 | 12.7 | 31.82 | 63.7 | 318.3 | 637.0 |
| 2 | 2.92 | 4.30 | 6.97 | 9.92 | 22.33 | 31.6 |
| 3 | 2.35 | 3.18 | 4.54 | 5.84 | 10.22 | 12.9 |
| 4 | 2.13 | 2.78 | 3.75 | 4.60 | 7.17 | 8.61 |
| 5 | 2.01 | 2.57 | 3.37 | 4.03 | 5.89 | 6.86 |
| 6 | 1.94 | 2.45 | 3.14 | 3.71 | 5.21 | 5.96 |
| 7 | 1.89 | 2.36 | 3.00 | 3.50 | 4.79 | 5.40 |
| 8 | 1.86 | 2.31 | 2.90 | 3.36 | 4.50 | 5.04 |
| 9 | 1.83 | 2.26 | 2.82 | 3.25 | 4.30 | 4.78 |
| 10 | 1.81 | 2.23 | 2.76 | 3.17 | 4.14 | 4.59 |
| 11 | 1.80 | 2.20 | 2.72 | 3.11 | 4.03 | 4.44 |
| 12 | 1.78 | 2.18 | 2.68 | 3.05 | 3.93 | 4.32 |
| 13 | 1.77 | 2.16 | 2.65 | 3.01 | 3.85 | 4.22 |
| 14 | 1.76 | 2.14 | 2.62 | 2.98 | 3.79 | 4.14 |
| 15 | 1.75 | 2.13 | 2.60 | 2.95 | 3.73 | 4.07 |
| 16 | 1.75 | 2.12 | 2.58 | 2.92 | 3.69 | 4.01 |
| 17 | 1.74 | 2.11 | 2.57 | 2.90 | 3.65 | 3.95 |
| 18 | 1.73 | 2.10 | 2.55 | 2.88 | 3.61 | 3.92 |
| 19 | 1.73 | 2.09 | 2.54 | 2.86 | 3.58 | 3.88 |
| 20 | 1.73 | 2.09 | 2.53 | 2.85 | 3.55 | 3.85 |
| 21 | 1.72 | 2.08 | 2.52 | 2.83 | 3.53 | 3.82 |
| 22 | 1.72 | 2.07 | 2.51 | 2.82 | 3.51 | 3.79 |
| 23 | 1.71 | 2.07 | 2.50 | 2.81 | 3.59 | 3.77 |
| 24 | 1.71 | 2.06 | 2.49 | 2.80 | 3.47 | 3.74 |
| 25 | 1.71 | 2.06 | 2.49 | 2.79 | 3.45 | 3.72 |
| 26 | 1.71 | 2.06 | 2.48 | 2.78 | 3.44 | 3.71 |
| 27 | 1.71 | 2.05 | 2.47 | 2.77 | 3.42 | 3.69 |
| 28 | 1.70 | 2.05 | 2.46 | 2.76 | 3.40 | 3.66 |
| 29 | 1.70 | 2.05 | 2.46 | 2.76 | 3.40 | 3.66 |
| 30 | 1.70 | 2.04 | 2.46 | 2.75 | 3.39 | 3.65 |
| 40 | 1.68 | 2.02 | 2.42 | 2.70 | 3.31 | 3.55 |
| 60 | 1.67 | 2.00 | 2.39 | 2.66 | 3.23 | 3.46 |
| 120 | 1.66 | 1.98 | 2.36 | 2.62 | 3.17 | 3.37 |
| ∞ | 1.64 | 1.96 | 2.33 | 2.58 | 3.09 | 3.29 |
| 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | 0.0005 | |
| Уровень значимости α (односторонняя критическая область) |
15.2 Двухвыборочный t-тест
Одна из наиболее часто встречающихся задач при анализе данных — это сравнение средних двух выборок. Для этого нам тоже понадобится t-тест, но теперь \(H_0\) нужно сформулировать по-другому: что две генеральные совокупности (из которых взяты соответствующие выборки) имеют одинаковое среднее.
\
Ну а альтернативная гипотеза, что эти две выборки взяты из распределений с разным средним в генеральной совокупности.
\
Есть две разновидности двухвыборочного t-теста: зависимый t-тест и независимый t-тест. Различие между зависимыми и независимыми тестами принципиальное, мы с ним еще будем сталкиваться.
Зависимые тесты предполагают, что каждому значению в одной выборке мы можем поставить соответствующее значение из другой выборки. Обычно это повторные измерения какого-либо признака в разные моменты времени. В независимых тестах нет возможности сопоставить одно значение с другим. Мы уже не можем напрямую соотнести значения в двух выборках друг с другом, более того, размер двух выборок может быть разным!
Использование зависимых и независимых тестов связано с использованием внутрииндивидуального и межиндивидуального экспериментальных дизайнов в планировании научных экспериментов. Даже если вы не планируете в дальнейшем заниматься проведением экспериментов, понимание различий между двумя видами дизайнов поможет вам понять разницу между зависимыми и независимыми тестами.
Например, мы хотим исследовать влияние кофеина на скорость реакции. Можно поступить по-разному:
-
Набрать выборку, каждому испытуемому дать либо кофеин (например, в виде раствора небольшого количества кофеина в воде), либо обычную воду. Что именно получит испытуемый получит определяется случайным образом. Испытуемый не должен знать, что ему дают (слепое тестирование), а в идеале этого должен не знать даже экспериментатор, который дает напиток и измеряет показатели (двойное слепое тестирование). Посчитать скорость выполнения выбранной задачи, отправить домой. Это межинидивидуальный экспериментальный дизайн, для анализа результатов которого нам понадобится независимый t-тест.
-
Набрать выборку, каждому испытуемому дать и обычную воду, и воду с кофеином, записывать скорость решения задач после употребления простой воды и после употребления воды с кофеином, соответственно. В данном случае будет случайным образом варьироваться порядок предъявления: одни испытуемые сначала получат обычную воду, а потом воду с кофеином, другие испытуемые — наоборот. Для такого эксперимента понадобится меньше участников, но оно будет дольше для каждого участника. Более того, в этом случае мы учтем межиндивидуальные различия участников: одни участники в среднем решают задачи быстрее других. Это внутриинидивидуальный экспериментальный дизайн, для анализа результатов которого нам понадобится зависимый t-тест.
| Внутрииндивидуальный план | Межиндивидуальный план |
|---|---|
| Зависимый t-тест | Независимый t-тест |
Итак, с тем, когда использовать зависимый, а когда независимый t-тест, более-менее разобрались, давайте опробуем их!
15.2.1 Двухвыборочный зависимый t-тест
Двухвыборочный зависимый t-тест — это то же самое, что и одновыборочный t-тест, только для разницы между связанными значениями. Поскольку наша нулевая гипотеза звучит, что средние должны быть равны,
\
то при верности нулевой гипотезы \.
Тогда вместо \(x\) подставим \(d\) — разницу (вектор разниц) между парами значений. Получаем вот что:
\[t = \frac{\overline{x} — \mu} {s_x / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d} — (\mu_1 — \mu_2)} {s_d / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d} — 0} {s_d / \sqrt{N}} = \frac{\overline{d}} {s_d / \sqrt{N}}\]
Мы будем использовать данные с курса по статистике Университета Шеффилда про эффективность диет. Мы вытащим оттуда данные по диете номер 1 и посмотрим, действительно ли она помогает сбросить вес.
Провести двухвыборочный t-тест можно в R двумя базовыми способами. Первый вариант — это дать два вектора значений. Это удобно в случае широкого формата данных.
Второй вариант — используя формулы. Это удобно при длинном формате данных:
В обоих вариантах мы использовали , чтобы обозначить использование именно зависимого (т.е. парного) t-теста.
| Внутрииндивидуальный план | Межиндивидуальный план |
|---|---|
| Зависимый t-тест | Независимый t-тест |
15.4 Непараметрические аналоги t-теста
Если выборка не очень большая и взята из сильно ассиметричного распределения или выборка представляет собой порядковые данные, то можно воспользоваться непараметрическими альтернативами для t-теста.
Непараметрические тесты не имеют допущений о распределении, что делает их более универсальными. Большинство подобных тестов подразумевает превращение данных в ранги, т.е. внутри этих тестов происходит преобразование в ранговую шкалу. Такое преобразование может снизить статистическую мощность теста и привести к повышению вероятности ошибки второго рода.
15.4.1 Тест Уилкоксона
Непараметрический аналог двустороннего зависимого t-теста называется тестом Уилкоксона. Функция для него называется , и она имеет такой же синтаксис, как и .
15.4.2 Тест Манна-Уитни
Непараметрическим аналогом двустороннего независимого t-теста является тест Манна-Уитни. Для него тоже используется функция , только в данном случае с параметром .
| Внутрииндивидуальный план | Межиндивидуальный план |
|---|---|
| Зависимый t-тест: | Независимый t-тест: |
| Тест Уилкоксона: | Тест Манна-Уитни: |
Отличительные черты экономических систем
Черты традиционной экономики
Ручной труд преобладает во всех отраслях экономики.
Характерно натуральное хозяйство.
Медленное развитие техники и технологий производства или их отсутствие из-за противоречий с действующим укладом и традиционными религиозными и культурными особенностями.
Широкое развитие обмена товарами и услугами (бартер).
Незначительная роль предпринимательства.
Преобладание традиций и обычаев
При этом главные экономические вопросы решаются в соответствии с ними.
Активная роль государства.
Объединенность членов экономических отношений.
Религиозные и культурные особенности имеют первостепенную важность в экономической деятельности.
Особенности командно-административной экономики
- Все экономические решения принимают государственные органы через централизованное (директивное) планирование. То есть на каждом предприятии есть производственный план и исходя из него принимается решение, что и в каком объеме производить.
- Производители не могут решать, что им производить.
- У производителя нет интереса в повышении эффективности производства.
- Преобладает государственная форма собственности практически на все ресурсы.
- Управление всеми предприятиями из единого центра.
- Государство полностью контролирует производство и распределение продукции.
Черты рыночной экономики
- Свободное решение основных экономических вопросов на основе механизма спроса-предложения.
- Рынок ориентируется на покупателя.
- Экономические субъекты реализуют деятельность в соответствии с личными экономическими интересами.
- Государство почти не играет роли в распределении ресурсов, в том числе не производит общественные блага, не борется с безработицей и др.
- Преобладание частной собственности.
- Свободная конкуренция.
- Самостоятельный выбор поставщиков сырья и покупателей продукции.
- Рыночная экономика развивается, при этом является крайне нестабильной.
- Ограниченное вмешательство государства в хозяйственную деятельность.
Характерные черты смешанной экономики
- Сочетание двух механизмов регулирования: рыночного и государственного.
- Наличие частного и государственного сектора экономики.
- Сочетание мотиваций частных предпринимателей с социально-значимыми задачами в экономике. То есть участие государства в предоставлении социальных благ.
- Развитая инфраструктура.
- Роль государства в смешанной экономике: обеспечивает правовую базу экономики, поощряет конкуренцию, перераспределяет доходы, уменьшает безработицу, сокращает инфляцию, стимулирует развитие экономики, поддержка предприятий государственного сектора экономики, инвестирования в сферы образования, здравоохранения, науки, культуры и другие.
Вычисление области под стандартным нормальным распределением
Область под кривой стандартного нормального распределения вычисляется многими способами. Это одна из старейших задач в компьютерной науке. Я предпочитаю метод, где используется ACM-алгоритм #209. Association for Computing Machinery (ACM) опубликовала множество фундаментальных алгоритмов для численных и статистических расчетов.
C#-реализация алгоритма #209 представлена на рис. 4 как функция Gauss. Эта функция принимает значение z, лежащее в интервале от –бесконечности до +бесконечности, и возвращает хорошую аппроксимацию области под стандартным нормальным распределением от –бесконечности до z.
Рис. 4. Расчет области под стандартным нормальным распределением
Даже мимолетный взгляд на код с рис. 4 должен убедить вас, что использовать существующий алгоритм, такой как ACM #209, гораздо проще, чем кодировать свою реализацию с нуля. Альтернатива ACM #209 — применение слегка модифицированного уравнения 7.1.26 из книги Милтона Абрамовича (Milton Abramowitz) и Айрин А. Стегун (Irene A. Stegun) «Handbook of Mathematical Functions» (Dover Publications, 1965).
СЧЁТЕСЛИМН
СЧЁТЕСЛИМН очень похожа на функцию СУММЕСЛИМН, только в отличии от нее, она не суммируется значения, а только считает количество ячеек, которые соответствуют определенным условиям. Как и в случае с СУММЕСЛИМН, у СЧЁТЕСЛИМН есть упрощенная форма СЧЁТЕСЛИ, который считает количество ячеек только по одному критерию, но лучше используйте более общий вариант.
Синтаксис у функции следующий:
— Диапазон условия 1 — Диапазон ячеек, которые проверяются на соответствие определенному условию.- Условие 1 — Условие, которое определяет какие ячейки надо учитывать при подсчете.Обратите внимания, что диапазонов условий и соответственно условий может быть несколько.
В примере выше, мы считаем сколько в таблице ячеек, в которых фамилия — Петров, а город — Москва. В формуле СЧЁТЕСЛИМН(A2:A13;E2;B2:B13;F2) диапазон A2:A13 — диапазон фамилий, которые мы проверяем, Е2 — та фамилия, которую мы ищем в диапазоне; B2:B13 — диапазон городов и соответственно F2 — город, который мы учитываем при подсчете ячеек. Получившееся число 3 — это количество строк в таблице, где фамилия равна Иванов, а город равен Москва.
Сервисы для составления списков задач
Если списки в блокнотах или ручные таблицы не для вас, используйте онлайн-сервисы для планирования:1. Google календарь. В нем удобно планировать дела на месяцы вперед. Можно настроить push-уведомления, чтобы не забыть о важных задачах. Кроме того, вы можете делиться календарем со своей командой, а также создавать совместные календари для командного планирования.
2. Toggle. Планировщик и тайм-трекер. Позволяет не только составлять списки задач на день, но и контролировать, сколько времени вы тратите каждую. В приложении можно посмотреть статистику по выполненным задачам и затраченному на них времени. Можно пригласить коллег и делиться отчетами о работе в формате PDF.
3. Trello. В системе удобно планировать как свои личные задачи, так и управлять проектом. Сервис организован в виде досок со столбцами и карточками. Каждая карточка — задача, которая двигается по столбцам — этапам выполнения. Можно создавать несколько досок для разного типа задач или разных команд.
Читать по темеТоп-5 сервисов для планирования задач
Этапы статистического вывода (statistic inference)
- Первый из них – это вопрос, который мы хотим изучить с помощью статистических методов. То есть первый этап: что изучаем? И какие у нас есть предположения относительно результата? Этот этап называется этап статистических гипотез.
- Второй этап – нужно определиться с тем, какие у нас есть в реальности данные для того, чтобы ответить на первый вопрос. Этот этап – тип данных.
- Третий этап состоит в том, чтобы выбрать корректный для применения в данной ситуации статистический критерий.
- Четвертый этап это логичный этап применения интерпретации любой формулы, какие результаты мы получили.
- Пятый этап это создание, синтез выводов относительно первого, второго, третьего, четвертого, пятого этапа, то есть что же получили и что же это в реальности значит.
