Векторное произведение векторов

Определения и свойства

Скаляры — это действительные числа, используемые в линейной алгебре, а не векторы . На этом изображении показан евклидов вектор . Его координаты x и y являются скалярами, как и его длина, но v не является скаляром.

Скаляры векторных пространств

Векторное пространство определяется как совокупность векторов (аддитивная абелева группа ), набор скаляров ( поля ) и скалярной операции умножения , который принимает скалярную K и вектор V в другой вектор K V . Например, в координатном пространстве , скалярные умножения урожайности . В (линейный) функционального пространства , kƒ функция х ↦ к ( ƒ ( х )).
k(v1,v2,…,vп){\ displaystyle k (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n})}(kv1,kv2,…,kvп){\ displaystyle (kv_ {1}, kv_ {2}, \ dots, kv_ {n})}

Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные , алгебраические , действительные и комплексные числа, а также конечные поля .

Скаляры как компоненты вектора

Согласно основной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис . Отсюда следует , что каждое векторное пространство над полем K является изоморфно к соответствующему координат векторного пространства , где каждый координаты состоит из элементов K (например, координаты ( ₁ , ₂ , …, _п ) , где _я ∈ K и n — размерность рассматриваемого векторного пространства.). Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n -мерному вещественному пространству R n .

Скаляры в нормированных векторных пространствах

В качестве альтернативы векторное пространство V можно снабдить функцией нормы, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина части V , эта операция может быть описана как масштабирование длины V по к . Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством ).

Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V , которое ограничивает последнее до полей, поддерживающих понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должно быть замкнуто под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но допустимое поле серда . По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.

Скаляры в модулях

Когда требование, чтобы набор скаляров формировал поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать кольцо (так, что, например, не нужно определять деление скаляров или скаляры не должны быть коммутативными ), в результате получается более общий алгебраическая структура называется модулем .

В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведения R n могут быть преобразованы в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример из теории многообразия , где пространство сечений в касательном расслоении образует модуль над алгеброй вещественных функций на многообразии.

Масштабирование трансформации

Скалярное умножение векторных пространств и модулей — это частный случай масштабирования , разновидность линейного преобразования .

Скалярные операции (информатика)

Операции, которые применяются к одному значению за раз.

• Скалярный процессор против векторного или суперскалярного процессора
• Переменная (информатика), иногда также называемая «скаляром».

Тензоры и работа с изображениями

Вектор — это простой массив данных, матрица — двухмерный массив, а тензор объединяет n измерений, где n>2. Компьютерные системы используют эти структуры, чтобы видеть и понимать изображения.

Для передачи цвета в цифровых изображениях используется шкала RGB — Red, Green, Blue. Когда аналитическая модель получает некую картинку, она создает тензор, который объединяет в себе три матрицы, у которых в каждой ячейке хранится цветовое значение соответствующего пикселя. Первая такая матрица содержит значения красного, вторая — зеленого, третья — синего. Пример того, как дальше можно работать с этими данными в следующем пункте.

Латентный семантический анализ (Latent Semantic Analysis, LSA)

Когда вы читаете предложение «Я увидел каменный замок, на его воротах висел замок», вы легко распознаете значения двух омонимов. Аналогично, вам несложно подобрать синоним к какому-либо слову — вы понимаете его значение и представляете, чем можно его заменить. Однако компьютеру такие операции даются с трудом, и создателям NLP-продуктов приходится придумывать, как обеспечить их системе возможность понимать контекст.

В этом им снова помогает алгоритм сингулярного разложения. Они разбивают некий объем текстовых материалов на меньшие матрицы, по которым можно соотнести тему, ее контекст и употребляемые термины. Такое разложение помогает найти внутренние связи в массивном наборе текстов и понимать контекстуальное значение слов.

Двоичные функции

Имя функции	Описание
binary_and()	Возвращает результат поразрядной операции и операции между двумя значениями.
binary_not()	Возвращает поразрядное отрицание входного значения.
binary_or()	Возвращает результат поразрядной операции или операции двух значений.
binary_shift_left()	Возвращает бинарную операцию сдвига влево для пары чисел: a << n.
binary_shift_right()	Возвращает бинарную операцию сдвига вправо для пары чисел: a >> n.
binary_xor()	Возвращает результат побитовой операции xor двух значений.
bitset_count_ones()	Возвращает количество установленных битов в двоичном представлении числа.

Что такое вектор

Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.

Физическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве

У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.

Аналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа

Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.

Математическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график

В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.

Векторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат

Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами. 

Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.  

Нахождение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.
Повторим определение для этого случая.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число,
равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и
на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора
на ось, параллельную вектору
.

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

.

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению
длины вектора на проекцию
вектора на ось, параллельную
вектору (в соответствии
с формулой ).

Находим длину вектора
как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

В пространстве

Если два вектора и
в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств
скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые
векторы.

Операции над векторами

Сложение векторов (правило параллелограмма)

Пусть есть два вектора и . Построим равные им векторы и . Вектор называют суммой векторов и обозначают. Для операции сложения векторов выполняется свойство дистрибутивности.

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор и действительное число . Произведением называют такой вектор , что

• ;
• и колинеарны;
• и сонаправлены, если и противоположно направлены, если .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называют число , где — угол между векторами и .
Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой .

Векторное произведение векторов

См. также основную статью: Векторное произведение

Векторным произведением векторов и называют вектор, имеющий длину , где — угол между векторами и , перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку векторов.

Скалярные пользовательские функции T-SQL

Пользовательские функции, которые реализованы на языке Transact-SQL и возвращают одно значение, называются скалярными пользовательскими функциями T-SQL. Это элегантное решение для обеспечения повторного использования и модульности кода запросов Transact-SQL. Некоторые вычисления (например, сложные бизнес-правила) проще выражать в императивной форме пользовательских функций. Такие функции позволяют конструировать комплексную логику, не имея опыта в написании сложных SQL-запросов. Дополнительные сведения о пользовательских функциях см. в разделе Создание определяемых пользователем функций (ядро СУБД).

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Вектор-Скалярное Умножение

Вектор можно умножить на скаляр, по сути масштабируя величину вектора.

Для простоты обозначений мы будем использовать строчные буквы «s» для представления скалярного значения.

или же

Умножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор такой же длины.

Или, говоря по-другому:

Мы можем выполнить эту операцию непосредственно с массивом NumPy.

Сначала в примере определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр.

При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат умножения двух вместе.

Аналогично, вектор-скалярное сложение, вычитание и деление могут быть выполнены таким же образом.

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

1. ;
2. ;
3. или ;
4. .

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .

Ответ:

.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.

Решение.

В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:

Ответ:

.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .

Решение.

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:

Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:

Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Решение.

. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид.

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .

Решение.

Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .

Вычисляем скалярное произведение .

Ответ:

.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

Пример.

При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.

Решение.

Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .

Ответ:

.

использованная литература

Исторические ссылки

• Бурбаки, Николя (1969), Éléments d’histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
• , репринт: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширений , Канненберг, LC, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
• Мур, Gregory H. (1995), «аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940гг», Historia Mathematica , 22 (3): 262-303, DOI :
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин

Этимология

Слово « скаляр» происходит от английского слова « скаляр», которое происходит от слова « масштаб», используемого для обозначения набора чисел. Последнее происходит от латинского scala, обозначающего шкалу .

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , слово скаляр впервые появилось в научной публикации в 1846 году в статье ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона , который использовал это слово для обозначения действительной части кватерниона . Эта ссылка подтверждается сайтом » Самые ранние известные употребления некоторых математических слов» . Последнее указывает на то, что этот термин скаляр уже использовался Гамильтоном в статье О кватернионах, представленной в 1844 году и опубликованной только в 1847 году (но, возможно, еще в 1845 году, согласно Дэвиду Уилкинсу).

Производительность скалярных пользовательских функций

Как правило, производительность скалярных пользовательских функций оказывается невысокой по указанным ниже причинам:

Итеративные вызовы. Пользовательские функции вызываются итеративно — однократно в соответствующем кортеже. Постоянные переключения контекста при вызове функций требуют дополнительных ресурсов. Особенно это проявляется в случаях, когда запросы Transact-SQL выполняются в определении пользовательской функции.

Отсутствие оценки затрат. Во время оптимизации оцениваются только реляционные операторы, но не скалярные. До появления скалярных пользовательских функций скалярные операторы, как правило, были нетребовательны к ресурсам и не нуждались в оценке. Достаточно было учитывать небольшое увеличение загрузки ЦП

Ниже представлены сценарии, в которых фактические затраты значительны, но по-прежнему не принимаются во внимание в полной мере.

Выполнение, ориентированное на интерпретацию. Пользовательские функции оцениваются как пакеты инструкций, но инструкции выполняются поочередно

Каждая инструкция компилируется отдельно, а затем скомпилированный план кэшируется. Хотя такая стратегия кэширования позволяет избежать повторной компиляции и немного сэкономить время, каждая инструкция выполняется изолированно. Перекрестная оптимизация инструкций не производится.

Последовательное выполнение. В SQL Server не допускается параллелизм внутри запросов, вызывающих пользовательские функции.

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Автоматическое встраивание скалярных пользовательских функций

Цель встраивания скалярных пользовательских функций заключается в повышении производительности запросов, которые вызывают скалярные пользовательские функции T-SQL, являющиеся основным узким местом.

Эта новая функция автоматически преобразует скалярные пользовательские функции в скалярные выражения или скалярные вложенные запросы, которые подставляются в вызывающий запрос вместо оператора пользовательской функции. Затем выражения и вложенные запросы оптимизируются. В итоге в плане запроса не будет оператора пользовательской функции, но логика функции сохраняется в виде представлений или встроенных функций с табличными значениями.

Пример 1. Скалярная пользовательская функция с одной инструкцией

Обратите внимание на следующий запрос. Он вычисляет сумму цен на позиции с учетом скидок и выводит результаты с группировкой по дате и приоритету отгрузки

Выражение служит для расчета цены позиции со скидкой. Выделение таких формул в отдельные функции позволяет повысить модульность кода и упрощает его повторное использование

Он вычисляет сумму цен на позиции с учетом скидок и выводит результаты с группировкой по дате и приоритету отгрузки. Выражение служит для расчета цены позиции со скидкой. Выделение таких формул в отдельные функции позволяет повысить модульность кода и упрощает его повторное использование.

Теперь запрос можно изменить так, чтобы в нем вызывалась эта пользовательская функция.

По изложенным выше причинам запрос с пользовательской функцией выполняется медленно. Однако благодаря встраиванию скалярных пользовательских функций скалярное выражение из тела пользовательской функции подставляется непосредственно в запрос. Результаты выполнения этого запроса показаны в приведенной ниже таблице.

Запрос:	Запрос без пользовательской функции	Запрос с пользовательской функцией (без встраивания)	Запрос со встраиванием скалярной пользовательской функции
Время выполнения:	1,6 секунды	29 минут 11 секунд	1,6 секунды

Эти показатели получены для базы данных CCI размером 10 ГБ (использующей схему TPC-H), которая размещена на компьютере с двумя процессорами (12 ядер), 96 ГБ ОЗУ и дисками SSD. В них было учтено время компиляции и выполнения с холодным кэшем процедур и буферным пулом. Использовалась конфигурация по умолчанию. Другие индексы не создавались.

Пример 2. Скалярная пользовательская функция с несколькими инструкциями

Скалярные пользовательские функции, которые реализуются с помощью нескольких инструкций T-SQL, таких как присвоение значений переменным и условное ветвление, также могут встраиваться. Рассмотрим приведенную ниже скалярную пользовательскую функцию, которая на основе ключа клиента определяет для него категорию обслуживания. Для этого она сначала вычисляет общую стоимость всех заказов, размещенных клиентом, с помощью SQL-запроса. Затем на основе общей стоимости определяется категория посредством логики .

Теперь рассмотрим запрос, вызывающий эту пользовательскую функцию.

План выполнения для этого запроса в SQL Server 2017 (14.x); (уровень совместимости 140 и ниже) выглядит так:

Как видно из плана, в SQL Server применяется простая стратегия: для каждого кортежа в таблице вызывается пользовательская функция и выводятся результаты. Такой подход примитивен и неэффективен. Благодаря встраиванию подобные пользовательские функции преобразуются в эквивалентные скалярные вложенные запросы, которые подставляются в вызывающий запрос вместо пользовательской функции.

Для этого же запроса план со встроенной пользовательской функцией выглядит так:

Как уже говорилось, в плане запроса теперь нет оператора пользовательской функции, но логика функции сохраняется в виде представлений или встроенных функций с табличными значениями. Изучив план, можно заметить следующее.

• Сервер SQL Server определил наличие неявного соединения между и и сделал его явным с помощью оператора соединения.
• Сервер SQL Server определил наличие неявного предложения и реализовал его с помощью IndexSpool и StreamAggregate.
• Теперь SQL Server применяет параллелизм для всех операторов.

В зависимости от сложности логики в пользовательской функции план запроса также может быть больше и сложнее. Как видите, операции внутри пользовательской функции теперь прозрачны, поэтому оптимизатор запросов может оценить затраты и оптимизировать эти операции. Кроме того, так как в плане больше нет пользовательской функции, полностью устраняются накладные расходы, связанные с ее итеративными вызовами.

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a→,b→ и c→:

1. коммутативность (a→,b→)=(b→,a→);
2. дистрибутивность(a→+b→,c→)=(a→,c→)+(b→,c→), (a→+b→,c→)=(a→,b→)+(a→,c→);
3. сочетательное свойство (λ·a→,b→)=λ·(a→,b→),(a→,λ·b→)=λ·(a→,b→), λ — любое число;
4. скалярный квадрат всегда больше нуля (a→,a→)≥, где (a→,a→)= в том случае, когда a→ нулевой.

Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности (a→,b→)=(b→,a→). Из определения имеем, что (a→,b→)=ay·by+ay·by и (b→,a→)=bx·ax+by·ay.

По свойству коммутативности равенства ax·bx=bx·ax и ay·by=by·ay верны, значит ax·bx+ay·by=bx·ax+by·ay.

Отсюда следует, что (a→,b→)=(b→,a→). Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b→)=(a(1)→,b→)+(a(2)→,b→)+…+(a(n)→,b→)

и (a→,b(1)→+b(2)→+…+b(n)→)=(a→,b(1)→)+(a→,b(2)→)+…+(a→,b→(n)),

отсюда имеем

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b(1)→+b(2)→+…+b(m)→)==(a(1)→,b(1)→)+(a(1)→,b(2)→)+…+(a(1)→,b(m)→)++(a(2)→,b(1)→)+(a(2)→,b(2)→)+…+(a(2)→,b(m)→)+…++(a(n)→,b(1)→)+(a(n)→,b(2)→)+…+(a(n)→,b(m)→)

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Этимология [ править ]

Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris , прилагательной формы слова scala (латинское слово «лестница»), от которого также происходит английское слово scale . Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в « Аналитическом искусстве» Франсуа Виэта ( In artem analyticem isagoge ) (1591): необходима страница

Величины, которые возрастают или убывают пропорционально своей природе от одного вида к другому, могут быть названы скалярными членами.

(Латинское: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендант ввел нисходящий, vocentur Scalares. )

Согласно цитате в Оксфордском словаре английского языка, первое зарегистрированное использование термина «скаляр» на английском языке произошло с В. Р. Гамильтоном в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:

В соответствии с вопросом, в котором она встречается, алгебраически действительная часть может принимать все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной бесконечности к положительной; поэтому мы будем называть ее скалярной частью.

Определение

Базис Б из векторного пространства V над полем F (например, действительных чисел R или комплексные числа C ) является линейно независимой подмножество из V , что пролеты V . Это означает, что подмножество B в V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:

• линейная независимость собственности:

  для каждого конечного подмножества из B , если для некоторых в F , то ; а также{v1,…,vм}{\ Displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ dotsc, \ mathbf {v} _ {m} \}}c1v1+⋯+cмvмзнак равно{\ Displaystyle c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + c_ {m} \ mathbf {v} _ {m} = \ mathbf {0}}c1,…,cм{\ displaystyle c_ {1}, \ dotsc, c_ {m}}c1знак равно⋯знак равноcмзнак равно{\ displaystyle c_ {1} = \ cdots = c_ {m} = 0}

• охватывающее свойство:

  для каждого вектора V в V , можно выбрать в F и в B таким образом, что .а1,…,ап{\ displaystyle a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}}v1,…,vп{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ dotsc, \ mathbf {v} _ {n}}vзнак равноа1v1+⋯+апvп{\ Displaystyle \ mathbf {v} = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n}}

В скалярах называются координатами вектора V относительно базиса B , а также по первому свойству они однозначно определяются.
ая{\ displaystyle a_ {i}}

Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным . В этом случае конечное подмножество может быть взято за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочение по базисным векторам, например, при обсуждении ориентации или когда кто-то рассматривает скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису без явной ссылки на базисные элементы. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченной основе , которая, следовательно, является не просто неструктурированным набором , а последовательностью , индексированным семейством или подобным; см. ниже.

Ссылки [ править ]

1. ^ Mathwords.com — Скаляр
2. ^ Lay, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
3. Перейти ↑ Strang, Gilbert (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
4. ^ Axler, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
5. ^ Виета, Франциск (1591). В artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra nouaРуководство по аналитическому искусству или новой алгебре ] (на латыни). Экскурсии: apud Iametium Mettayer typographum regium . Проверено 24 июня 2015 .
6. ^ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Линкольн Коллинз. Биографическая статья: Франсуа Вите

Функции DateTime/TimeSpan

Имя функции	Описание
ago()	Вычитает заданный интервал времени из текущего времени UTC.
datetime_add()	Вычисляет новое значение даты и времени из указанной части даты, умноженной на указанную сумму, добавленную к указанной дате и времени.
datetime_part()	Извлекает запрошенную часть даты как целое число.
datetime_diff()	Возвращает конец года, содержащий дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
dayofmonth()	Возвращает целое число, представляющее номер дня в заданном месяце.
dayofweek()	Возвращает целое число дней с предыдущего воскресенья в виде промежутка времени.
dayofyear()	Возвращает целое число, представляющее номер дня в заданном году.
endofday()	Возвращает конец дня, содержащий дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
endofmonth()	Возвращает конец месяца, содержащий дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
endofweek()	Возвращает конец недели, содержащий дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
endofyear()	Возвращает конец года, содержащий дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
format_datetime()	Форматирует параметр datetime на основе параметра шаблона формата.
format_timespan()	Форматирует параметр format-TimeSpan на основе параметра шаблона формата.
getmonth()	Возвращает номер месяца (1-12) для аргумента типа datetime.
getyear()	Возвращает часть года из аргумента datetime.
hourofday()	Возвращает целое число, представляющее номер часа указанной даты.
make_datetime()	Создает скалярное значение datetime из указанной даты и времени.
make_timespan()	Создает скалярное значение TimeSpan за указанный период времени.
monthofyear()	Возвращает целое число, представляющее номер месяца в заданном году.
now()	Возвращает текущее время в формате UTC, при необходимости смещенное на заданный промежуток времени.
startofday()	Возвращает начало дня, содержащее дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
startofmonth()	Возвращает начало месяца, содержащее дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
startofweek()	Возвращает начало недели, содержащее дату, смещенную на смещение, если оно предусмотрено.
startofyear()	Возвращает начало года, содержащее дату, сдвинутую на смещение, если оно предусмотрено.
todatetime()	Преобразует входные данные в скалярные значения DateTime.
totimespan()	Преобразует входные данные в скалярные значения TimeSpan.
unixtime_microseconds_todatetime()	Преобразует микросекунды в формате UNIX в формат UTC DateTime.
unixtime_milliseconds_todatetime()	Преобразует миллисекунды в формате UNIX в формат UTC DateTime.
unixtime_nanoseconds_todatetime()	Преобразует наносекунды в формате UNIX в формат UTC DateTime.
unixtime_seconds_todatetime()	Преобразует секунды в формате UNIX в формат UTC DateTime.
weekofyear()	Возвращает целое число, представляющее номер недели.

Определение

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора — это тензор первого ранга типа (1,0).

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены

Или же — если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.