Триангуляция (съемка) содержание а также принцип [ править ]

Приложения

Определение положения удаленного объекта B с углами, наблюдаемыми из точек A и C, и базовой линией b между ними

При съемке

В частности, при съемке триангуляция включает только угловые измерения в известных точках, а не прямое измерение расстояний до точки, как при трилатерации ; использование углов и расстояний называется триангуляцией .

В компьютерном зрении

Компьютерное стереозрение и оптические 3D-измерительные системы используют этот принцип для определения пространственных размеров и геометрии объекта. По сути, конфигурация состоит из двух датчиков, наблюдающих за предметом. Один из датчиков обычно представляет собой цифровую камеру, а другой также может быть камерой или световым проектором. Центры проекций датчиков и рассматриваемая точка на поверхности объекта образуют (пространственный) треугольник. В этом треугольнике расстояние между датчиками является основанием b и должно быть известно. Путем определения углов между проекционными лучами датчиков и базисом точка пересечения и, следовательно, трехмерная координата вычисляются из треугольных соотношений.

Связь с диаграммой Вороного

Триангуляция Делоне со всеми описанными окружностями и их центрами (красным).

Соединение центров описанных окружностей дает диаграмму Вороного (красная).

Делоне триангуляции из дискретного точечного множества P в общем положении соответствует двойственного графа из диаграммы Вороного для P . В окружностей из треугольников Делоне являются вершинами диаграммы Вороного. В двухмерном случае вершины Вороного соединены ребрами, которые могут быть получены из отношений смежности треугольников Делоне: если два треугольника имеют общее ребро в триангуляции Делоне, их центры окружности должны быть соединены с ребром в мозаике Вороного. .

Особые случаи, когда эта связь не соблюдается или неоднозначна, включают такие случаи, как:

Три или более коллинеарных точки, где описанные окружности имеют бесконечный радиус .
Четыре или более точек на идеальной окружности, где триангуляция неоднозначна и все центры окружности тривиально идентичны.
Края диаграммы Вороного уходящей в бесконечность, не определяется этим соотношением в случае конечного множества P . Если Делоне триангуляции вычисляется с использованием алгоритма Бойер-Watson то окружностей треугольников , имеющих общую вершину с «супер» треугольника следует игнорировать. Ребра, уходящие в бесконечность, начинаются от центра описанной окружности и перпендикулярны общему краю между сохраненным и игнорируемым треугольником.

Методы создания ГГС: триангуляция, полигонометрия, трилатерация

Метод триангуляции. Принято считать, что метод триангуляции впервые был предложен голландским ученым Снеллиусом в 1614 г. Этот метод широко применяется во всех странах. Сущность метода заключается в следующем. На командных высотах местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих сеть треугольников (рис. 13). В Сеть триангуляции этой сети определяют координаты исходного пункта А, измеряют горизонтальные углы в каждом треугольнике, а также длины b и азимуты а базисных сторон, задающих масштаб и ориентировку сети по азимуту.

Сеть триангуляции может быть построена в виде отдельного ряда треугольников, системы рядов треугольников, а также в виде сплошной сети треугольников. Элементами сети триангуляции могут служить не только треугольники, но и более сложные фигуры: геодезические четырехугольники и центральные системы.

Основными достоинствами метода триангуляции являются его оперативность и возможность использования в разнообразных физико-географических условиях; большое число избыточных измерений в сети, позволяющих непосредственно в поле осуществлять надежный контроль всех измеренных величин; высокая точность определения взаимного положения смежных пунктов в сети, особенно сплошной. Метод триангуляции получил наибольшее распространение при построении государственных геодезических сетей.

Метод полигонометрии. Этот метод известен также давно, однако применение его при создании государственной геодезической сети сдерживалось до недавнего времени.

Полигонометрический ход трудоемкостью линейных измерений, выполняемых ранее с помощью инварных проволок. Начиная примерно с шестидесятых годов текущего столетия, одновременно с внедрением в геодезическое производство точных свето и радиодальномеров, метод полигонометрии получил дальнейшее развитие и стал широко применяться при создании геодезических сетей.

Сущность этого метода состоит в следующем. На местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих вытянутый одиночный ход (рис. 14) или систему пересекающихся ходов, образующих сплошную сеть. Между смежными пунктами хода измеряют длины сторон s,-, а на пунктах — углы поворота р. Азимутальное ориентирование полигонометрического хода осуществляют с помощью азимутов, определяемых или заданных, как правило, на конечных пунктах его, измеряя при этом примычные углы у. Иногда прокладывают полигонометрические ходы между пунктами с заданными координатами геодезической сети более высокого класса точности.

Метод полигонометрии в ряде случаев, например, в заселённой местности, на территории крупных городов и т. п. оказывается более оперативным и более экономичным, чем метод триангуляции. Это обусловлено тем, что в таких условиях на пунктах триангуляции строят более высокие геодезические знаки, чем на пунктах полигонометрии, поскольку в первом случае следует обеспечить прямую видимость между гораздо большим числом пунктов, чем во втором. Постройка ,же геодезических знаков является самым дорогостоящим видом работ при создании геодезической сети (в среднем 50-60 % всех затрат).

Метод трилатерации. Данный метод, как и метод триангуляции, предусматривает создание на местности геодезических сетей либо в виде цепочки треугольников, геодезических четырехугольников и центральных систем, либо в виде сплошных сетей треугольников, в которых измеряются не углы, а длины сторон. В трилатерации, как и в триангуляции, для ориентирования сетей на местности должны быть определены азимуты ряда сторон.

По мере развития и повышения точности свето- и радиодальномерной техники измерений расстояний метод трилатерации постепенно приобретает все большее значение, особенно в практике инженерно-геодезических работ.

Почему люди с нарциссическим расстройством личности используют триангуляцию?

Нарциссы часто используют триангуляцию, чтобы подкрепить собственное чувство превосходства, повысить самооценку, обесценить других и вывести из равновесия потенциальных соперников. Они не сильно отличаются от детей или подростков, которые используют триангуляцию, чтобы получить больше власти или стать популярнее среди сверстников.

Пример: У Жана скрытое нарциссическое расстройство личности.

В отличие от грандиозных, высокомерных нарциссов, которые любят блистать и быть в центре внимания, люди с гиперчувствительным типом нарциссического расстройства чувствуют себя слишком уязвимыми и неуверенными, чтобы открыто добиваться внимания.

Жан завидует успеху Кэрол, своей коллеги и подруги. Он испытывает по отношению к ней конкурентные чувства, в то же время опасаясь открытого соперничества. Вместо этого он подружился с Фрэн, их общей коллегой, и принялся искусно отталкивать ее от Кэрол, разжигая между ними конфликт.

Жан сказал Фрэн: «Я знаю, что тебе нравится Кэрол, поэтому должен кое-что тебе сказать. Пожалуйста, пообещай, что не расскажешь ей об этом». Фрэн почувствовала любопытство и пообещала не сообщать Кэрол об их разговоре. Жан продолжил: «Не знаю, как сказать тебе об этом, но мне не нравится, что Кэрол говорит о тебе за твоей спиной. Я был потрясен, когда услышал некоторые вещи, которые она говорила при сотрудниках. Разумеется, я на твоей стороне, и поэтому подумал, что ты должна знать».

Что произошло?

Жан убил двух зайцев одним выстрелом, мастерски «разделяя и властвуя». Ему удалось оттолкнуть Фрэн от Кэрол. Более того, Жан убедил Фрэн, что он — ее единственный добрый друг. Кроме того, теперь Фрэн чувствует напряжение, находясь среди коллег, и они не понимают, почему. Поэтому сотрудники начинают избегать Фран, что еще больше сближает ее с Жаном.

Люди с пограничным и шизоидным расстройствами личности также могут использовать триангуляцию, но в несколько иных целях, чем люди с нарциссическим расстройством.

Вступление

Предполагается, что вблизи планковского масштаба структура самого пространства-времени постоянно меняется из-за квантовых флуктуаций и топологических флуктуаций. Теория CDT использует процесс триангуляции, который динамически изменяется и следует детерминированным правилам, чтобы наметить, как это может развиться в пространственные измерения, подобные пространству нашей Вселенной.

Результаты исследователей показывают, что это хороший способ смоделировать раннюю Вселенную и описать ее эволюцию. Используя структуру, называемую симплексом , он делит пространство-время на крошечные треугольные секции. Симплекс — это многомерный аналог треугольника ; 3-симплекс обычно называют тетраэдром , а 4-симплекс, который является основным строительным блоком в этой теории, также известен как пентахорон . Каждый симплекс геометрически плоский, но симплексы могут быть «склеены» вместе различными способами для создания искривленных пространств-времени, где предыдущие попытки триангуляции квантовых пространств приводили к беспорядочным вселенным со слишком большим количеством измерений или к минимальным вселенным с слишком небольшим количеством измерений.

CDT позволяет избежать этой проблемы, допуская только те конфигурации, в которых временные шкалы всех соединенных ребер симплексов совпадают.

Связанные теории

CDT имеет некоторое сходство с петлевой квантовой гравитацией , особенно с ее формулами спиновой пены . Например, лоренцианская модель Барретта – Крейна, по сути, является непертурбативным рецептом для вычисления интегралов по траекториям, как и CDT. Однако есть важные отличия. Формулировки спиновой пены квантовой гравитации используют разные степени свободы и разные лагранжианы. Например, в CDT расстояние или «интервал» между любыми двумя точками в данной триангуляции может быть вычислено точно (триангуляции являются собственными состояниями оператора расстояния). Это неверно для спиновой пены или петлевой квантовой гравитации в целом. Более того, в спиновых пенах дискретность считается фундаментальной, в то время как в CDT она рассматривается как регуляризация интеграла по путям, которая устраняется континуальным пределом.

В континуальном пределе CDT, вероятно, связана с некоторой версией гравитации Горжавы – Лифшица . Фактически, обе теории опираются на слоение пространства-времени, и поэтому можно ожидать, что они принадлежат к одному и тому же классу универсальности. Было показано, что в измерениях 1 + 1 они являются одной и той же теорией, в то время как в более высоких измерениях есть только некоторые подсказки, поскольку понимание континуального предела CDT остается сложной задачей.

литература

в порядке появления

Тео Джерарди: Гауссовская триангуляция Ганноверского королевства (1821–1844 гг.) И измерение прусского налога на имущество (1868–1873 гг.). Институт геодезии и фотограмметрии Технического университета, Ганновер, 1952 г.
Вальтер Гроссманн: Геодезические расчеты и изображения в национальной съемке. Виттвер, Штутгарт, 2-й, доб. Издание 1964 года.
Ингрид Кречмер (Ред.): Лексикон по истории картографии. С начала до Первой мировой войны, два тома. Deuticke, Вена, 1986.
Жорж Грожан: История картографии. Берн 1996.
Гюнтер Хаке, Дитмар Грюнрайх, Лицю Мэн: Картография. Визуализация пространственно-временной информации. de Gruyter, Берлин, 8-е, полностью переработанное издание 2002 г., ISBN 978-3-11-016404-6.

Съемка ситуации

_______
Съемка ситуации заключается в привязке контуров и предметов местности к сторонам и вершинам теодолитного хода.

_______
Съемка ситуации может быть выполнена различными способами.

6.1. Способ прямоугольных координат (способ перпендикуляров)

_______
Ближайшая к контуру сторона хода принимается за ось абсцисс, точка А – за начало координат. Положение каждой точки определяется прямоугольными координатами X и Y. Перпендикуляры на местности строятся с помощью двузеркального эккера.

_______
Абсциссы отмеряют обычно с помощью мерной ленты, а ординаты – с помощью рулетки. Способ перпендикуляров применяется в основном при съемке вытянутых в длину контуров.

6.2. Способ полярных координат (полярный способ)

_______
В этом случае ближайшая к контуру сторона теодолитного хода принимается за полярную ось, начало линии – за полюс. Положение точек 1, 2, 3 определяется полярными углами ß₁, ß₂, ß₃; радиус – векторами d₁, d₂, d₃.

_______
Полярные углы измеряются с помощью теодолита одним полуприемом, причем лимб ориентируется по сторонам хода, стороны измеряются с помощью нитяного дальномера. При съемке особо важных контуров – с помощью ленты.

6.3. Способ линейных засечек

_______

Треугольники стараются делать близкими к равносторонним. Линейная засечка применяется часто при съемке строений. В этом случае расстояния измеряются лентой или рулеткой.

6.4. Способ угловых засечек

_______
Способ угловых засечек применяется в тех случаях, когда определить положение точки при помощи линейных измерений не удается.

6.5. Способ створов

_______
Положение точки Р определяется расстоянием 2-Р вдоль линии 2-Е. Положение створной линии определяется расстоянием 4-Е.

_______
При съемке ситуации составляется абрис.

_______
Абрис – это схематический чертеж, составленный в произвольном масштабе.

_______
На абрисе зарисовывается снимаемая ситуация и записываются результаты выполняемых при съемке угловых и линейных измерений. Абрис составляется отдельно на каждую сторону теодолитного хода. На основе абриса производится нанесение контуров местности на план.

Инструкция по прохождению теста

Выберите один из вариантов в каждом из 10 вопросов;
Нажмите на кнопку «Показать результат»;
Скрипт не покажет результат, пока Вы не ответите на все вопросы;
Загляните в окно рядом с номером задания. Если ответ правильный, то там (+). Если Вы ошиблись, там (-).
За каждый правильный ответ начисляется 1 балл;
Оценки: менее 5 баллов — НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, от 5 но менее 7.5 — УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, 7.5 и менее 10 — ХОРОШО, 10 — ОТЛИЧНО;
Чтобы сбросить результат тестирования, нажать кнопку «Сбросить ответы»;

История

Измерение высоты здания инклинометром

Сегодня триангуляция используется для многих целей, включая геодезию , навигацию , метрологию , астрометрию , бинокулярное зрение , моделирование ракет и, в вооруженных силах, направление орудия, траекторию и распределение огневой мощи оружия .

Использование треугольников для оценки расстояний восходит к древности. В 6 веке до н.э., около 250 лет до установления династии Птолемеев , греческий философ Фалес записываются как использование подобных треугольников , чтобы оценить высоту пирамид в Древнем Египте . Он измерил длину теней пирамид и своей собственной в один и тот же момент и сравнил отношения со своей высотой (теорема о пересечении). Фалес также оценил расстояния до кораблей в море, видимых с вершины утеса, путем измерения горизонтального расстояния, пройденного линией прямой видимости для известного падения, и масштабирования до высоты всего утеса. Такие техники были знакомы древним египтянам. В задаче 57 папируса Ринда , написанной тысячью лет назад, сект или секэд определяется как отношение пробега к подъему склона , то есть обратная величина градиентов, измеренная сегодня. Наклоны и углы были измерены с помощью визирной рейки, которую греки называли диоптрой , предшественницей арабской алидады . Детальный , современный набор конструкций для определения длины от расстояния , используя этот инструмент известен, Dioptra из Героя Александрии (с 10-70 AD.), Который сохранился в арабском переводе; но знания были потеряны в Европе до тех пор, пока в 1615 году Снеллий , после работы Эратосфена , не переработал технику для попытки измерить окружность Земли. В Китае Пей Сю (224–271) определил «измерение прямых и острых углов» как пятый из шести принципов точного картографирования, необходимых для точного определения расстояний, в то время как Лю Хуэй (ок. 263) дает версию приведенный выше расчет для измерения перпендикулярных расстояний до труднодоступных мест.

Феномен семейной триангуляции

Триангуляция — это участие в диадических отношениях
Диадические отношения — это отношения в паре, например, в отношениях матери и
ребенка. Основой диадических отношений являются социальные ожидания, которым
должно соответствовать поведение каждого члена пары; только при этом условии
диада функционирует нормально. третий член семьи в момент, когда усиление
тревоги указывает на возможность проявления и/или осознания конфликта в диаде
или его перехода в неконтролируемую форму (Мюррей Боуэн). Триангуляция
позволяет стабилизировать эмоциональное состояние человека, протягивая руку
помощи третьему человеку, поддерживая семейную систему и уравновешивая
расстояния между членами системы. Классическим примером триангуляции является
судьба несчастной Этель Мерц из старой серии «Я люблю Люси». В каждом
эпизоде она произносила стандартную фразу: «О нет, Люси, не заставляй меня
участвовать в очередном сумасшедшем проекте только потому, что Рикки никогда не
согласится»! Конечно, она неизбежно попала в «треугольник
отношений». В реальной жизни это выглядит чем угодно, только не
развлечением для членов семьи с низкой дифференциацией и постоянной необходимостью
разряжать напряжение в других. «Треугольники отношений» неизбежно
возникают тогда, когда у пары слишком мало дифференциации чувств и ума, и ей
необходимо разрядить конфликт и избавиться от ненужного напряжения за счет
третьей стороны. «Треугольники» не обязательно указывают на патологию
— любые отношения между людьми можно рассматривать как потенциальный источник
их образования.

В высокодифференцированных семьях с низким уровнем
беспокойства снятие стресса происходит без ущерба для индивидуальности каждого
человека. Члены семьи просто перераспределяют обязанности в зависимости от
того, в чем заключается проблема и кто испытывает наибольшие трудности в данный
момент. Напротив, в семьях с низкой дифференциацией и высоким уровнем тревоги
эмоциональная реактивность проявляется в формировании нескольких
взаимосвязанных «треугольников отношений». Например, при рождении
ребенка триангуляция происходит автоматически. Вновь образованный
«треугольник» (отец-мать-ребенок) влияет на уже существующие. Предположим,
что до рождения ребенка конфликт между супругами иногда обострялся до такой
степени, что жена вовлекала свою мать в «треугольник отношений»
(например, разговаривала с ней о природе разногласий). Хотя участие матери
ослабило напряжение, муж чувствовал себя отчужденным от семьи. Эта триангуляция
удовлетворила потребность матери и позволила ей снять напряжение, возникшее в
ее собственных отношениях с дочерью. Можно только гадать, насколько сильна была
преданность семейным традициям в этом примере. С рождением ребенка приходит
желание, чтобы муж вернулся в семью, чтобы ухаживать за ребенком. Одной из
возможностей является попытка вывести свекровь из нуклеарной семьи. Если это
удастся, свекровь отныне будет вынуждена справляться в одиночку с
напряженностью, возникающей в ее собственных супружеских отношениях. При
условии высокой степени дифференциации в линии поколений,
«треугольник» представителей старшего поколения найдет другой объект
для снятия напряжения. Возможный вариант — «трехсторонняя игра с открытыми
картами» — то есть муж вступает в борьбу со своей свекровью за место в
семейном кругу рядом с женой/дочерью. Этот конфликт, скорее всего, затрагивает
других людей, а также работу и здоровье.

Описанный пример доказывает, что уровни дифференциации
являются межпоколенческими.

Визуальное определение Делоне: переворачивание

Из вышеуказанных свойств возникает важная особенность: если посмотреть на два треугольника ABD и BCD с общим ребром BD (см. Рисунки), если сумма углов α и γ меньше или равна 180 °, треугольники удовлетворяют условию Делоне. .

Это важное свойство, поскольку оно позволяет использовать технику переворачивания. Если два треугольника не удовлетворяют условию Делоне, переключение общего ребра BD на общее ребро AC дает два треугольника, которые удовлетворяют условию Делоне:. Эта операция называется переворотом и может быть обобщена на три и более высоких измерения.

Эта операция называется переворотом и может быть обобщена на три и более высоких измерения.

Триангуляция страны

Измерение расстояния с помощью триангуляции практиковали XVI — го века ( Левинус Халзиус )

До 1980-х годов триангуляция в основном использовалась для измерения расстояний (расстояния по прямой, которые не должны быть покрыты, поверхность имела рельеф и кривизну). Триангуляция заключается в получении путем визирования углов треугольника, вершины которого выбираются исходя из их видимости (башня, вершина, колокольня и т. Д.). Этот первый треугольник затем соединяется цепью с другим, имеющим с ним одну общую сторону, продолжая цепочку вдоль измеряемого меридиана. Достаточно определить основание в начале, то есть измерить на земле одну сторону первого треугольника, чтобы получить длину сторон всех треугольников.

Этот процесс, повторяемый шаг за шагом, использовался Деламбром и Мешеном с по 1798 год для измерения расстояния между Дюнкерком и Барселоной (примерно 1147 км) по парижскому меридиану , что позволит впервые практическое и официальное определение метра в 1799 году (хотя понятие метра как универсальной и десятичной единицы возникло гораздо раньше, см. работы Джона Уилкинса и Тито Ливио Бураттини ).

Таким образом, с точки отсчета можно определить положение различных точек территории и создать сетку. Эта сетка затем позволяет получить точную картографию , деформации которой известны, по сравнению с картами, нарисованными от руки с высокой точки . Первая карта Франции, составленная таким образом, была опубликована в году на основе исследований Жака и Сезара Кассини .

Свойства

Метод триангуляции можно описать в терминах функции, такой что
τ {\ Displaystyle \ тау \,}

Икс ∼ τ ( y 1 ′ , y 2 ′ , C 1 , C 2 ) {\ displaystyle \ mathbf {x} \ sim \ tau (\ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}, \ mathbf {C} _ {1}, \ mathbf {C} _ {2})}

где — однородные координаты точек детектируемого изображения, — матрицы камер. x (3D-точка) — однородное представление результирующей 3D-точки. Знак означает , что требуется только для получения вектора , который равен х до умножения на ненулевой скаляр , так как однородные векторы участвуют.
y 1 ′ , y 2 ′ {\ displaystyle \ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}} C 1 , C 2 {\ displaystyle \ mathbf {C} _ {1}, \ mathbf {C} _ {2}} ∼ {\ displaystyle \ sim \,} τ {\ Displaystyle \ тау \,}

Прежде чем переходить к конкретным методам, то есть к конкретным функциям , необходимо пояснить некоторые общие концепции, связанные с методами. Выбор метода триангуляции для конкретной задачи в некоторой степени зависит от этих характеристик.
τ {\ Displaystyle \ тау \,}

Особенности

Некоторые методы не позволяют правильно вычислить оценку x (трехмерная точка), если она находится в определенном подмножестве трехмерного пространства, соответствующем некоторой комбинации . Тогда точка в этом подмножестве является особенностью метода триангуляции. Причина сбоя может заключаться в том, что некоторая решаемая система уравнений недоопределена или что проективное представление x _est становится нулевым вектором для особых точек.
y 1 ′ , y 2 ′ , C 1 , C 2 {\ displaystyle \ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}, \ mathbf {C} _ {1}, \ mathbf {C} _ {2}}

Инвариантность

В некоторых приложениях желательно, чтобы триангуляция не зависела от системы координат, используемой для представления трехмерных точек; если задача триангуляции сформулирована в одной системе координат, а затем преобразована в другую, результирующая оценка x _est должна преобразоваться таким же образом. Это свойство обычно называют инвариантностью . Не каждый метод триангуляции обеспечивает инвариантность, по крайней мере, не для общих типов преобразований координат.

Для однородного представления трехмерных координат наиболее общим преобразованием является проективное преобразование, представленное матрицей . Если однородные координаты преобразовать согласно
4 × 4 {\ displaystyle 4 \ times 4} Т {\ displaystyle \ mathbf {T}}

Икс ¯ ∼ Т Икс {\ displaystyle \ mathbf {\ bar {x}} \ sim \ mathbf {T} \, \ mathbf {x}}

то матрицы камеры должны преобразоваться как ( C _k )

C ¯ k ∼ C k Т — 1 {\ displaystyle \ mathbf {\ bar {C}} _ {k} \ sim \ mathbf {C} _ {k} \, \ mathbf {T} ^ {- 1}}

для получения одинаковых однородных координат изображения ( y _k )

y k ∼ C ¯ k Икс ¯ знак равно C k Икс {\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ sim \ mathbf {\ bar {C}} _ {k} \, \ mathbf {\ bar {x}} = \ mathbf {C} _ {k} \, \ mathbf {x}}

Если функция триангуляции инвариантна относительно, то должно выполняться следующее соотношение
τ {\ Displaystyle \ тау} Т {\ displaystyle \ mathbf {T}}

Икс ¯ е s т ∼ Т Икс е s т {\ displaystyle \ mathbf {\ bar {x}} _ {\ rm {est}} \ sim \ mathbf {T} \, \ mathbf {x} _ {\ rm {est}}}

откуда следует, что

τ ( y 1 ′ , y 2 ′ , C 1 , C 2 ) ∼ Т — 1 τ ( y 1 ′ , y 2 ′ , C 1 Т — 1 , C 2 Т — 1 ) , {\ displaystyle \ tau (\ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}, \ mathbf {C} _ {1}, \ mathbf {C} _ {2}) \ sim \ mathbf {T} ^ {- 1} \, \ tau (\ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}, \ mathbf {C} _ {1} \, \ mathbf {T} ^ {- 1}, \ mathbf {C} _ {2} \, \ mathbf {T} ^ {- 1}),} для всех y 1 ′ , y 2 ′ {\ displaystyle \ mathbf {y} ‘_ {1}, \ mathbf {y}’ _ {2}}

Для каждого метода триангуляции можно определить, действительно ли это последнее соотношение. Если это так, оно может быть выполнено только для подмножества проективных преобразований, например жестких или аффинных преобразований.

Вычислительная сложность

Функция является лишь абстрактным представлением вычисления, которое на практике может быть относительно сложным. Некоторые методы приводят к получению непрерывной функции замкнутой формы, тогда как другие необходимо разложить на серию вычислительных шагов, включающих, например, SVD или поиск корней многочлена. Еще один класс методов, результаты которых должны полагаться на итеративную оценку некоторых параметров. Это означает, что как время вычислений, так и сложность задействованных операций могут различаться для разных методов.
τ {\ Displaystyle \ тау} τ {\ Displaystyle \ тау} τ {\ Displaystyle \ тау}

Типы

Могут быть определены различные типы триангуляции, в зависимости от того, какой геометрический объект должен быть разделен, и от того, как это подразделение определяется.

Триангуляцией из является подразделением в n — мерных симплексов таких , что любые два симплекса в пересекаются в общей грани (симплекс любого меньшей размерности) или нет вообще, и любое ограниченное множество в пересекается лишь конечное множество симплексов в . То есть это локально конечный симплициальный комплекс , покрывающий все пространство. Т {\ displaystyle T} р d {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}} р d {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}} d {\ displaystyle d} Т {\ displaystyle T} р d {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}} Т {\ displaystyle T}
Точка-множество триангуляции , то есть, триангуляция дискретного множества точек , является подразделением выпуклой оболочки точек на симплексы такие , что любые два симплекса пересекается в общей грани любой размерности или нет вообще , и таким образом, что множество вершин симплексов содержится в . Часто используемые и изучаемые триангуляции наборов точек включают триангуляцию Делоне (для точек в общем положении набор симплексов, описанных открытым шаром, не содержащий входных точек) и триангуляцию с минимальным весом (триангуляция набора точек, минимизирующая сумму длины кромок). п ⊂ р d {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} \ subset \ mathbb {R} ^ {d}} п {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
В картографии , A триангулированная нерегулярная сеть представляет собой множество точек триангуляции из множества двумерных точек вместе с возвышениями для каждой точки. Поднятие каждой точки с плоскости на ее повышенную высоту поднимает треугольники триангуляции на трехмерные поверхности, которые образуют приближение трехмерной формы рельефа.
Многоугольник триангуляция является подразделением данного многоугольника на треугольники , отвечающих от края до края, опять — таки с тем свойством , что множество вершин треугольника совпадает с множеством вершин многоугольника. Триангуляции многоугольников могут быть найдены за линейное время и составляют основу нескольких важных геометрических алгоритмов, включая простое приближенное решение проблемы художественной галереи . Ограниченно триангуляция Делона является адаптацией триангуляции Делона от точечных множеств до полигонов или, в более общем плане , для плоских графов прямой линии .
Триангуляция поверхности состоит из сетки треугольников с точками на данной поверхности , покрывающей поверхность частично или полностью.
В методе конечных элементов триангуляции часто используются в качестве сетки (в данном случае треугольной сетки ), лежащей в основе вычислений. В этом случае треугольники должны образовывать подразделение моделируемой области, но вместо ограничения вершин входными точками разрешается добавлять дополнительные точки Штейнера в качестве вершин. Чтобы быть подходящей в качестве конечно-элементной сетки, триангуляция должна иметь треугольники правильной формы в соответствии с критериями, которые зависят от деталей моделирования методом конечных элементов (см. ); например, некоторые методы требуют, чтобы все треугольники были прямыми или острыми, образуя неупругие сетки . Многие методы Meshing известны, в том числе уточняющего Делона алгоритмов , такие как второй алгоритм Чу в и алгоритме Ruppert в .
В более общих топологических пространствах триангуляции пространства обычно относятся к симплициальным комплексам, гомеоморфным пространству.