Как проверить навыки программирования на python? задачи от яндекса

Оператор цикла while

Оператор цикла while  выполняет указанный набор инструкций до тех пор, пока условие цикла истинно. Истинность условия определяется также как и в операторе if. Синтаксис оператора while  выглядит так.

while выражение:
    инструкция_1
    инструкция_2
    ...
    инструкция_n

Выполняемый набор инструкций называется телом цикла.

Пример.

a = 
while a < 7:
   print("A")
   a += 1

Буква “А” будет выведена семь раз в столбик.

Пример бесконечного цикла.

a = 
while a == :
   print("A")

Операторы break и continue

При работе с циклами используются операторы break  и continue.

Оператор break  предназначен для досрочного прерывания работы цикла while.

Пример.

a = 
while a >= :
   if a == 7:
       break
   a += 1
   print("A")

В приведенном выше коде, выход из цикла произойдет при достижении переменной a  значения 7. Если бы не было этого условия, то цикл выполнялся бы бесконечно.

Оператор continue  запускает цикл заново, при этом код, расположенный после данного оператора, не выполняется.

Пример.

a = -1
while a < 10:
   a += 1
   if a >= 7:
       continue
   print("A")

При запуске данного кода символ “А” будет напечатан 7 раз, несмотря на то, что всего будет выполнено 11 проходов цикла.

Задания для самоподготовки

1. Задайте и
вызовите функцию, которая вычисляет площадь прямоугольника.

2. Необходимо
создать функцию, которая в зависимости от значения формального параметра type будет вычислять
или площадь или периметр прямоугольника.

3. Написать
функцию поиска максимального значения из переданного ей списка значений.

4. Написать
функцию вычисления произведения значений элементов переданного ей списка.

Видео по теме

#1. Первое знакомство с Python Установка на компьютер

#2. Варианты исполнения команд. Переходим в PyCharm

#3. Переменные, оператор присваивания, функции type и id

#4. Числовые типы, арифметические операции

#5. Математические функции и работа с модулем math

#6. Функции print() и input(). Преобразование строк в числа int() и float()

#7. Логический тип bool. Операторы сравнения и операторы and, or, not

#8. Введение в строки. Базовые операции над строками

#9. Знакомство с индексами и срезами строк

#10. Основные методы строк

#11. Спецсимволы, экранирование символов, row-строки

#12. Форматирование строк: метод format и F-строки

#13. Списки — операторы и функции работы с ними

#14. Срезы списков и сравнение списков

#15. Основные методы списков

#16. Вложенные списки, многомерные списки

#17. Условный оператор if. Конструкция if-else

#18. Вложенные условия и множественный выбор. Конструкция if-elif-else

#19. Тернарный условный оператор. Вложенное тернарное условие

#20. Оператор цикла while

#21. Операторы циклов break, continue и else

#22. Оператор цикла for. Функция range()

#23. Примеры работы оператора цикла for. Функция enumerate()

#24. Итератор и итерируемые объекты. Функции iter() и next()

#25. Вложенные циклы. Примеры задач с вложенными циклами

#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов

#27. Генераторы списков (List comprehensions)

#28. Вложенные генераторы списков

#29. Введение в словари (dict). Базовые операции над словарями

#30. Методы словаря, перебор элементов словаря в цикле

#31. Кортежи (tuple) и их методы

#32. Множества (set) и их методы

#33. Операции над множествами, сравнение множеств

#34. Генераторы множеств и генераторы словарей

#35. Функции: первое знакомство, определение def и их вызов

#36. Оператор return в функциях. Функциональное программирование

#37. Алгоритм Евклида для нахождения НОД

#38. Именованные аргументы. Фактические и формальные параметры

#39. Функции с произвольным числом параметров *args и **kwargs

#40. Операторы * и ** для упаковки и распаковки коллекций

#41. Рекурсивные функции

#42. Анонимные (lambda) функции

#43. Области видимости переменных. Ключевые слова global и nonlocal

#44. Замыкания в Python

#45. Введение в декораторы функций

#46. Декораторы с параметрами. Сохранение свойств декорируемых функций

#47. Импорт стандартных модулей. Команды import и from

#48. Импорт собственных модулей

#49. Установка сторонних модулей (pip install). Пакетная установка

#50. Пакеты (package) в Python. Вложенные пакеты

#51. Функция open. Чтение данных из файла

#52. Исключение FileNotFoundError и менеджер контекста (with) для файлов

#53. Запись данных в файл в текстовом и бинарном режимах

#54. Выражения генераторы

#55. Функция-генератор. Оператор yield

#56. Функция map. Примеры ее использования

#57. Функция filter для отбора значений итерируемых объектов

#58. Функция zip. Примеры использования

#59. Сортировка с помощью метода sort и функции sorted

#60. Аргумент key для сортировки коллекций по ключу

#61. Функции isinstance и type для проверки типов данных

#62. Функции all и any. Примеры их использования

#63. Расширенное представление чисел. Системы счисления

#64. Битовые операции И, ИЛИ, НЕ, XOR. Сдвиговые операторы

#65. Модуль random стандартной библиотеки

Аннотация типов

Python — язык с динамической типизацией. По этой причине вполне возможны ситуации, когда вопреки ожиданиям разработчика в функцию подаются, например, не целые числа, а, допустим, строки. Чтобы отслеживать подобные случаи и сильнее контролировать процесс выполнения программы, была изобретена аннотация типов.

С помощью аннотации типов мы указываем, что параметры в функции имеют строго определенный тип.

В этой функции мы показали, что аргументы и результат должны быть целыми. Если передать , то функция выполнится как обычно, однако IDE предупредит нас, что было получено неожиданное значение.

PyCharm предупреждает о передаче типа «str» вместо «int»

При этом интерпретатор считывает аннотации типов, но никак их не обрабатывает.

Функции Python 3 — возврат значения

Можно передавать значение аргумента функции в Python. При этом функция также может возвращать значение с помощью инструкции return, которая завершит выполнение функции и передаст значения к месту ее вызова. Используя return без аргументов, функция будет возвращать None.

До сих пор мы использовали print(), а не return. Создадим программу, которая вместо вывода в терминал будет возвращать переменную.

В новом текстовом файле создадим программу, которая будет возводить в квадрат параметр x и возвращать переменную y. Выполняем вызов, чтобы вывести переменную result после запуска функции square() с аргументом 3:

square.py
def square(x):
    y = x ** 2
    return y

result = square(3)
print(result)

Запускаем программу, чтобы увидеть результат:

python square.py

Результат
9

В качестве выходных данных получаем число 9, что и является результатом возведения в квадрат числа 3. Рассмотрим действие инструкции return в программе:

square.py
def square(x):
    y = x ** 2
    # return y

result = square(3)
print(result)

Снова запускаем программу:

python square.py

Результат
None

Без return программа не может вернуть значение, поэтому оно равно None.

В следующем примере математической функции в Python заменим print() из программы add_numbers.py на инструкцию return:

add_numbers.py
def add_numbers(x, y, z):
    a = x + y
    b = x + z
    c = y + z
    return a, b, c

sums = add_numbers(1, 2, 3)
print(sums)

Вне функции объявляем переменную sums, которая равна результату действия функции для чисел 1, 2 и 3 из примера, приведенного выше. Затем выводим переменную sums. Снова запускаем программу, теперь уже с инструкцией return:

python add_numbers.py

Результат

(3, 4, 5)

На выходе получаем те же числа, что и с использованием инструкции print(). Теперь результат предоставлен в виде кортежа, так как в списке выражений инструкции return имеется запятая.

Функции Python немедленно завершаются, когда встречают инструкцию return, независимо от того, возвращают они значение или нет:

return_loop.py
def loop_five():
    for x in range(0, 25):
        print(x)
        if x == 5:
            # Функция останавливается на x == 5
            return
    print("Эта строка не будет выполняться.")

loop_five()

Инструкция return в цикле for завершает функцию, поэтому строка вне цикла не будет выполняться. При использовании инструкции break был бы завершен только цикл, и выполнялась последняя строка print().

Инструкция return завершает функцию и может возвращать значение в случае применения параметров.

Модуль числа

Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.

При вычислении модуля возможны 3 ситуации:

• Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
• Модуль нуля так же равен нулю.
• У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.

Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?

Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.

Исходя из теоремы Пифагора получаем, что модуль комплексного числа это корень квадратный из суммы квадратов мнимой и действительной частей.

Заметки [ править ]

1. Перейти ↑ Rosen 1993 , p. 132
2. ^ Шумахер 1996 , стр. 88
3. ^ Стинсон, Дуглас Р. (1995), Криптография / Теория и практика , CRC Press, стр. 124–128, ISBN 0-8493-8521-0
4. ^ Trappe и Вашингтон 2006 , стр. 164-169
5. ^ Мориарти, K .; Калиски, Б .; Jonsson, J .; Руш, А. (2016). «PKCS # 1: Спецификации криптографии RSA, версия 2.2» . Инженерная группа Интернета RFC 8017 . Инженерная группа Интернета . Проверено 21 января 2017 года .
6. ^ Часто используются другие обозначения, включая [ a ] и [ a ] _m .
7. ^ Ирландия и Розен 1990 , стр. 32
8. ^ Шуп, Виктор (2005), Вычислительное введение в теорию чисел и алгебру , Cambridge University Press, теорема 2.4, с. 15, ISBN 9780521851541
9. Перейти ↑ Rosen 1993 , p. 121
10. ^ Ирландия и Розен 1990 , стр. 31 год
11. ^ Томас Koshy. Элементарная теория чисел с приложениями , 2-е издание. ISBN 978-0-12-372487-8 . С. 346. 
12. ^ Брент, Ричард П .; Циммерманн, Пауль (декабрь 2010 г.). «§2.5.1 Несколько инверсий сразу» . Современная компьютерная арифметика . Кембриджские монографии по вычислительной и прикладной математике. 18 . Издательство Кембриджского университета. С. 67–68. ISBN  978-0-521-19469-3.
13. ^ Trappe и Вашингтон 2006 , стр. 167
14. ^ Trappe и Вашингтон 2006 , стр. 165

Пример [ править ]

Чтобы проиллюстрировать приведенные выше определения, рассмотрим следующий пример с использованием модуля 10.

Два целых числа совпадают по модулю 10 тогда и только тогда, когда их разность делится на 10, например

32≡12(mod10){\displaystyle 32\equiv 12{\pmod {10}}} так как 10 делит 32 — 12 = 20, и

111≡1(mod10){\displaystyle 111\equiv 1{\pmod {10}}} поскольку 10 делит 111 — 1 = 110.

Вот некоторые из десяти классов конгруэнтности по этому модулю:

¯={⋯,−20,−10,,10,20,⋯}{\displaystyle {\overline {0}}=\{\cdots ,-20,-10,0,10,20,\cdots \}}

1¯={⋯,−19,−9,1,11,21,⋯}{\displaystyle {\overline {1}}=\{\cdots ,-19,-9,1,11,21,\cdots \}}

5¯={⋯,−15,−5,5,15,25,⋯}{\displaystyle {\overline {5}}=\{\cdots ,-15,-5,5,15,25,\cdots \}} а также

9¯={⋯,−11,−1,9,19,29,⋯}.{\displaystyle {\overline {9}}=\{\cdots ,-11,-1,9,19,29,\cdots \}.}

Линейное сравнение 4 x ≡ 5 (mod 10) не имеет решений, так как целые числа, которые конгруэнтны 5 (т.е. входящие), все нечетные, а 4 x всегда четные. Однако линейное сравнение 4 x ≡ 6 (mod 10) имеет два решения, а именно x = 4 и x = 9 . НОД (4, 10) = 2 и 2 не делит 5, но делает разрыв 6.5¯{\displaystyle {\overline {5}}}

Поскольку gcd (3, 10) = 1 , линейное сравнение 3 x ≡ 1 (mod 10) будет иметь решения, то есть будут существовать модульные мультипликативные обратные числа 3 по модулю 10. Фактически, 7 удовлетворяет этому сравнению (т. Е. 21 — 1 = 20). Однако другие целые числа также удовлетворяют сравнению, например 17 и −3 (т.е. 3 (17) — 1 = 50 и 3 (−3) — 1 = −10). В частности, каждое целое число в удовлетворяет сравнению, поскольку эти целые числа имеют вид 7 + 10 r для некоторого целого числа r и 7¯{\displaystyle {\overline {7}}}

3(7+10r)−1=21+30r−1=20+30r=10(2+3r),{\displaystyle 3(7+10r)-1=21+30r-1=20+30r=10(2+3r),}

явно делится на 10. Это сравнение имеет только один класс конгруэнции решений. Решение в этом случае можно было бы получить, проверив все возможные случаи, но для больших модулей потребуются систематические алгоритмы, которые будут приведены в следующем разделе.

Произведение классов конгруэнтности и может быть получено путем выбора элемента , скажем, 25, и элемента , скажем, −2, и наблюдения, что их произведение (25) (- 2) = −50 находится в классе конгруэнции . Таким образом, . Сложение определяется аналогичным образом. Десять классов сравнения вместе с этими операциями сложения и умножения классов сравнения образуют кольцо целых чисел по модулю 10, т . Е ..5¯{\displaystyle {\overline {5}}}8¯{\displaystyle {\overline {8}}}5¯{\displaystyle {\overline {5}}}8¯{\displaystyle {\overline {8}}}¯{\displaystyle {\overline {0}}}5¯⋅108¯=¯{\displaystyle {\overline {5}}\cdot _{10}{\overline {8}}={\overline {0}}}Z10Z{\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }

Полная система вычетов по модулю 10 может быть набором {10, −9, 2, 13, 24, −15, 26, 37, 8, 9}, где каждое целое число находится в другом классе сравнения по модулю 10. Уникальная система наименьших вычетов по модулю 10 это {0, 1, 2, …, 9}. Система приведенных остатков по модулю 10 может быть {1, 3, 7, 9}. Произведение любых двух классов конгруэнтности, представленных этими числами, снова является одним из этих четырех классов конгруэнтности. Это означает, что эти четыре класса конгруэнции образуют группу, в данном случае циклическую группу четвертого порядка, имеющую либо 3, либо 7 в качестве (мультипликативного) генератора. Представленные классы конгруэнции образуют группу единиц кольца . Именно эти классы конгруэнции имеют модульные мультипликативные инверсии.Z10Z{\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }

Загрузка модуля в код Python

Нам нужно загрузить модуль в код Python, чтобы использовать его функции. Python предоставляет два типа операторов:

1. Оператор импорта
2. Оператор from-import

Оператор импорта

Оператор импорта используется для импорта всех функций одного модуля в другой. Здесь мы должны заметить, что мы можем использовать функциональность любого исходного файла Python, импортировав этот файл в качестве модуля в другой исходный файл Python.

Мы можем импортировать несколько модулей с помощью одного оператора импорта, но модуль загружается один раз, независимо от того, сколько раз он был импортирован в наш файл.

Синтаксис для использования оператора импорта приведен ниже.

import module1,module2,........ module n

Следовательно, если нам нужно вызвать функцию displayMsg(), определенную в файле file.py, мы должны импортировать этот файл как модуль в наш модуль, как показано в примере ниже.

Пример:

import file;
name = input("Enter the name?")
file.displayMsg(name)

Выход:

Enter the name?John
Hi John

Оператор from-import

Вместо того, чтобы импортировать весь модуль, в python имеется возможность импортировать только определенные атрибутов модуля. Это можно сделать с помощью from-import оператора. Синтаксис для использования оператора from-import приведен ниже.

from <module-name> import <name 1>, <name 2>..,<name n>   

Рассмотрим следующий модуль, называемый calculation, который содержит три функции: суммирование, умножение и деление.

calculation.py:

#place the code in the calculation.py 
def summation(a,b):
 return a+b
def multiplication(a,b):
 return a*b;
def divide(a,b):
 return a/b;

Main.py:

from calculation import summation  
#it will import only the summation() from calculation.py
a = int(input("Enter the first number"))
b = int(input("Enter the second number"))
print("Sum = ",summation(a,b)) #we do not need to specify the module name while accessing summation()

Выход:

Enter the first number10
Enter the second number20
Sum =  30

Оператор from … import всегда лучше использовать, если мы заранее знаем атрибуты, которые нужно импортировать из модуля. Это не позволяет нашему коду быть тяжелее. Мы также можем импортировать все атрибуты из модуля, используя *.

Рассмотрим следующий синтаксис.

from <module> import *  

Применение аннотации typing.Any.

Особый тип аннотации . Средство проверки статического типа будет рассматривать каждый тип как совместимый с и как совместимый с каждым типом.

Это означает, что можно выполнить любую операцию или вызов метода для значения типа и присвоить его любой переменной:

from typing import Any

a = None    # type: Any
a = []      # OK
a = 2       # OK

s = ''      # type: str
s = a       # OK

def foo(item Any) -> int
    # Проверка типов; 'item' может быть 
    # любого типа, и этот тип может 
    # иметь метод 'bar'
    item.bar()
    ...

Обратите внимание, что при присвоении значения типа более точному типу, проверка типов выполняться не будет. Например, средство проверки аннотации не сообщило об ошибке при присвоении параметру , даже если был объявлен как имеющий тип и получил значение во время выполнения!. Кроме того, все функции без возвращаемого типа или типов параметров неявно по умолчанию будут использовать Any:

Кроме того, все функции без возвращаемого типа или типов параметров неявно по умолчанию будут использовать Any:

def legacy_parser(text):
    ...
    return data

# Статическая проверка типов будет 
# рассматривать вышеприведенное 
# как имеющее ту же сигнатуру, что и:
def legacy_parser(text Any) -> Any
    ...
    return data

Такое поведение позволяет использовать в качестве аварийного выхода, когда необходимо смешивать динамически и статически типизированный код.

Сравните поведение с поведением : Подобно , каждый тип является подтипом . Однако, в отличие от , обратное неверно: не является подтипом любого другого типа.

Это означает, что, когда типом значения является объект, то средство проверки типов отклоняет почти все операции с ним, и присвоение его переменной (или использование в качестве возвращаемого значения) более специализированного типа является ошибкой типа. Например:

def hash_a(item object) -> int
    # Не проходит; у `object` нет `magic` метода.
    item.magic()
    ...

def hash_b(item Any) -> int
    # Проверка типа прошла успешно
    item.magic()
    ...

# Проверка прошла, поскольку `ints` и 
# `strs` являются подклассами объекта
hash_a(42)
hash_a("foo")

# Проверка прошла, т.к. `Any` 
# совместим со всеми типами
hash_b(42)
hash_b("foo")

Используйте , для указания значения любого типа безопасным способом, а , для динамически типизируемых значений.

Функция в Python

Если какая то задача выполняется многократно в программе, то не обязательно эту задачу расписывать во всех разделах программы, достаточно поместить код в функцию и в последующем вызывать эту функцию по мере необходимости.

Напишем функцию, которая вычисляет квадрат своего аргумента и выводит на экран:

>>> def square(number):
…     «»»Вычисление квадрата числа»»»
…     (number 2)
…
>>> square(5)25
>>> square(124.45)15487.802500000002

Определение функции начинается с ключевого слова def, за которым следует имя функции — square. Имя функции, как и имена переменных рекомендуется писать с букв нижнего регистра, а в именах, состоящих из нескольких слов, составляющие должны разделяться символами подчеркивания. Далее в круглых скобках записываются параметры (аргументы) функции, разделенные запятыми. Функция square имеет только один аргумент с именем number — значение, возводимое в квадрат. В случае отсутствия параметров у функции пустые круглые скобки обязательны. В конце строки за параметрами всегда ставится двоеточие ().

После двоеточия новая строка должна идти с отступом (4 пробела). Все строки с отступом образуют тело или блок функции. В «Руководстве по стилю кода Python» указано, что первой строкой блока функции должна быть doc-строка, кратко поясняющая назначение функции: «»»Вычисление квадрата числа»»». Сам код в теле функции состоит всего из одной строки (number 2).

Команда squre(5) вызывает функции square() и передает ей значение аргумента, для выполнения команды . Функция возводит число в квадрат и выводит на экран. 

Условный оператор „?“

Иногда нам нужно определить переменную в зависимости от условия.

Например:

Так называемый «условный» оператор «вопросительный знак» позволяет нам сделать это более коротким и простым способом.

Оператор представлен знаком вопроса . Его также называют «тернарный», так как этот оператор, единственный в своём роде, имеет три аргумента.

Синтаксис:

Сначала вычисляется : если оно истинно, тогда возвращается , в противном случае – .

Например:

Технически, мы можем опустить круглые скобки вокруг . Оператор вопросительного знака имеет низкий приоритет, поэтому он выполняется после сравнения .

Этот пример будет делать то же самое, что и предыдущий:

Но скобки делают код более читабельным, поэтому мы рекомендуем их использовать.

В примере выше вы можете избежать использования оператора вопросительного знака , т.к. сравнение само по себе уже возвращает :

Определение функции Python 3

Начнем с превращения в функцию классический «Hello, World!». Создадим в текстовом редакторе новый файл и назовем его hello.py. Затем определим функцию.

Функция определяется с помощью ключевого слова def, за которым следует название и параметры функции в круглых скобках (могут быть пустыми). Строку заканчиваем двоеточием.

В нашем случае определяем функцию с названием hello():

hello.py
def hello():

Мы создали начальную инструкцию для создания функции Python 3.

Теперь добавляем вторую строку, в которой устанавливаем инструкции для функции. В примере мы будем печатать в консоли «Hello, World»!

hello.py
def hello():
    print("Hello, World!")

Теперь строковая функция Python полностью определена, но если мы запустим программу, ничего не произойдет, так как мы не вызвали ее. Поэтому вызовем функцию с помощью hello():

hello.py
def hello():
    print("Hello, World!")

hello()

Запускаем программу:

python hello.py

Должно получиться следующее:

Результат

Hello, World!

Функции могут быть и сложнее, чем hello(). В блоке функции Python 3 можно использовать циклы for, условные инструкции и другое.

Например, следующая функция использует условную инструкцию для проверки того, содержит ли значение переменной name гласную, а затем применяет цикл for для итерации по буквам.

names.py

# Определяем функцию names()
def names():
    # Задаем имя переменной с вводом
    name = str(input('Введите имя: '))
    # Проверить, содержит ли имя гласную
    if set('aeiou').intersection(name.lower()):
        print('Имя содержит гласную.')
    else:
        print('Имя не содержит гласную.')

    # Итерация по имени
    for letter in name:
        print(letter)

# Вызываем функцию
names()

Вызов функции Python names(), которую мы определили, задает условную инструкцию и цикл for. Из этого примера видно, как можно организовать код в пределах функции. Также можно определить условное выражение и цикл for как две отдельные функции.

Вычисление

Расширенный алгоритм Евклида

Модульная мультипликативная инверсия а по модулю м можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида.

В Евклидов алгоритм определяет наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел, скажем а и м. Если а имеет мультипликативный обратный по модулю м, этот gcd должен быть 1. Последнее из нескольких уравнений, созданных алгоритмом, может быть решено для этого gcd. Затем, используя метод, называемый «обратная подстановка», можно получить выражение, связывающее исходные параметры и этот НОД. Другими словами, целые числа Икс и у можно найти, чтобы удовлетворить Личность Безу,

аИкс+му=gcd(а,м)=1.{ displaystyle ax + my = gcd (a, m) = 1.}

Переписанный, это

аИкс−1=(−у)м,{ displaystyle ax-1 = (- y) м,}

то есть,

аИкс≡1(модм),{ Displaystyle Ax Equiv 1 { pmod {m}},}

Итак, модульный мультипликативный обратный а был рассчитан. Более эффективной версией алгоритма является расширенный алгоритм Евклида, который с помощью вспомогательных уравнений сокращает два прохода алгоритма (обратная подстановка может рассматриваться как прохождение алгоритма в обратном направлении) до одного.

В нотация большой O, этот алгоритм работает во времени O (журнал (м)2), предполагая |а| < м, и считается очень быстрым и обычно более эффективным, чем его альтернатива, возведение в степень.

Используя теорему Эйлера

В качестве альтернативы расширенному алгоритму Евклида теорема Эйлера может использоваться для вычисления модульных обратных.

В соответствии с Теорема Эйлера, если а является совмещать к м, то есть, gcd (а, м) = 1, тогда

аϕ(м)≡1(модм),{ Displaystyle а ^ { фи (м)} эквив 1 { pmod {м}},}

куда ϕ{ displaystyle phi} является Функция Эйлера. Это следует из того, что а принадлежит мультипликативной группе (ZмZ){ Displaystyle ( mathbb {Z} / м mathbb {Z})}×если и только если а является совмещать к м. Следовательно, модульное мультипликативное обратное можно найти напрямую:

аϕ(м)−1≡а−1(модм).{ displaystyle a ^ { phi (m) -1} Equiv a ^ {- 1} { pmod {m}}.}

В частном случае, когда м это простое число, ϕ(м)=м−1{ Displaystyle фи (м) = м-1} а модульный обратный —

а−1≡ам−2(модм).{ displaystyle a ^ {- 1} Equiv a ^ {m-2} { pmod {m}}.}

Этот метод обычно медленнее, чем расширенный алгоритм Евклида, но иногда используется, когда реализация для модульного возведения в степень уже доступна. К недостаткам этого метода можно отнести:

• Значение ϕ(м){ Displaystyle фи (м)} должно быть известно, и наиболее эффективное известное вычисление требует мс факторизация. Широко распространено мнение, что факторизация является сложной вычислительной проблемой. Однако расчет ϕ(м){ Displaystyle фи (м)} просто, когда факторизация на простые множители м известен.
• Относительная стоимость возведения в степень. Хотя это можно реализовать более эффективно, используя модульное возведение в степень, когда большие значения м задействованы, это наиболее эффективно вычисляется с помощью Редукция Монтгомери метод. Сам этот алгоритм требует модульного обратного мода м, что и должно было быть рассчитано в первую очередь. Без метода Монтгомери стандартный двоичное возведение в степень, для чего требуется мод деления м на каждом шагу, это медленная операция, когда м большой.

Один примечательный преимущество метода заключается в том, что нет условных переходов, которые зависят от значения а, а значит, и значение а, что может быть важным секретом в криптография с открытым ключом, можно защитить от атаки по побочным каналам. По этой причине стандартная реализация Подкрутка25519 использует этот метод для вычисления обратного.

Множественные инверсии

Можно вычислить обратное несколько чисел а_я, по модулю общего м, с одним вызовом алгоритма Евклида и тремя умножениями на каждый дополнительный вход. Основная идея состоит в том, чтобы сформировать продукт всех а_я, инвертируем, а затем умножаем на а_j для всех j ≠ я оставить только желаемое а−1_я.

В частности, алгоритм (вся арифметика выполняется по модулю м):

1. Вычислить префиксные продукты бя=∏j=1яаj=аябя−1{ textstyle b_ {i} = prod _ {j = 1} ^ {i} a_ {j} = a_ {i} b_ {i-1}} для всех я ≤ п.
2. Вычислить б−1_п используя любой доступный алгоритм.
3. За я из п до 2, вычислить
   • а−1_я = б−1_яб_я−1 и
   • б−1_я−1 = б−1_яа_я.
4. Ну наконец то, а−1₁ = б−1₁.

Можно выполнять умножения в древовидной структуре, а не линейно, чтобы использовать параллельные вычисления.

Гиперболические функции

Подобно тригонометрическим функциям, гиперболические функции для комплексного числа также доступны в модуле .

import cmath

a = 3 + 4j

print('Hyperbolic Sine:', cmath.sinh(a))
print('Hyperbolic Cosine:', cmath.cosh(a))
print('Hyperbolic Tangent:', cmath.tanh(a))

print('Inverse Hyperbolic Sine:', cmath.asinh(a))
print('Inverse Hyperbolic Cosine:', cmath.acosh(a))
print('Inverse Hyperbolic Tangent:', cmath.atanh(a))

Вывод:

Hyperbolic Sine: (-6.5481200409110025-7.61923172032141j)
Hyperbolic Cosine: (-6.580663040551157-7.581552742746545j)
Hyperbolic Tangent: (1.000709536067233+0.00490825806749606j)
Inverse Hyperbolic Sine: (2.2999140408792695+0.9176168533514787j)
Inverse Hyperbolic Cosine: (2.305509031243477+0.9368124611557198j)
Inverse Hyperbolic Tangent: (0.11750090731143388+1.4099210495965755j)