Функция эйлера. доказательство

Функция Эйлера[править]

Определение:

Функция Эйлера определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих и взаимно простых с .

Определение:

Функция называется мультипликативной, если для любых взаимно простых .

Теорема (Мультипликативность функции Эйлера):

Для любых взаимно простых чисел

Доказательство:

Запишем натуральных чисел, не превосходящих , в виде прямоугольной таблицы с столбцами и строками, располагая первые чисел в первой строке, вторые чисел во второй и т.д.

Поскольку и взаимно просты, то целое взаимно просто с тогда и только тогда, когда оно взаимно просто как с , так и с . Итак, нужно доказать, что количество чисел в таблице, взаимно простых с и с равно .

Теперь приступим непосредственно к доказательству. Число находящееся в -ой строке и -ом столбце нашей таблицы можно представить в виде . Если это число взаимно просто с , то и остаток этого числа по модулю тоже взаимно прост с . Но тогда и все числа в данном столбце тоже взаимно просты с , так как весь столбец можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью , а при добавлении остаток деления по модулю не меняется. Поэтому, числа взаимно простые с в таблице занимают ровно столбцов.

Перед тем как продолжить доказательство, давайте рассмотрим небольшое утверждение. Пусть нам даны последовательных членов арифметической прогрессии . Тогда, если , то остатки всех этих чисел по модулю разные, а значит, образуют все множество остатков , причем каждый остаток получается ровно из одного из членов прогрессии.

Воспользуемся данным утверждением, подставив разность арифметической прогресии . Тогда в каждом из столбцов есть ровно чисел, взаимно простых с . Следовательно всего чисел, взаимно простых и с и с равно , что и требовалось доказать.

Различные свойства функции Эйлера[править]

Теорема:

Если для каких-то натуральных чисел и верно, что , тогда верно и

Доказательство:

Воспользуемся формулой для .

При этом, так как , то , а также

Значит, , а значит, , что и требовалось доказать.

Теорема:

Для любого натурального числа выполнено равенство

Доказательство:

Данную теорему можно доказать разложив по формуле , а можно более элегантно:

Рассмотрим дробей . Каждую дробь представим в виде несократимой дроби .

Заметим, что множество значений — это множество делителей числа . Так как дробь несократима, то и взаимно просты. Зная, что , легко понять, что всего дробей со знаменателем ровно . Так как, все дробей мы представили в несократимом виде, где знаменатель является делителем , то , так как всего дробей , что и требовалось доказать.

Теорема (Обобщённая мультипликативность):

Пусть и — любые два натуральных числа, а , тогда:

Доказательство:

Пусть тогда причем в общем случае и Поэтому можно записать:

Здесь первые делителей являются также делителями а последние делителей являются делителями Распишем:

В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы

где — простое, получаем:

В первой строке записано во второй — а третью можно представить, как Поэтому:

BETA, BETACORE, BETAINC, BETALN — бета-функции

Синтаксис:

B = beta(p, q)B = betacore(x, p, q)I = betainc(x, p, q)y = betaln(p, q)

Описание:

Полная бета-функция B = beta(p, q) определяется следующим образом :

B(p, q) = = .

Неполная бета-функция B = betainc(p, q) определяется так :

I_x(p, q) = .

Для ее вычисления используется вспомогательная функция betacore(x, p, q).

Функция y = betaln(p, q) представляет натуральный логарифм полной бета-функции B = beta(p, q). Поскольку бета-функция изменяется в широких пределах, знание ее логарифма может оказаться более предпочтительным. Вычисление функции ln(B) реализуется без вычисления функции beta(p, q).

Если p и q — массивы, то их размеры должны быть согласованы.

Алгоритм:

betaln(p, q) = gammaln(p) + gammaln(q) — gammaln(p + q)beta(p, q) = exp(betaln(p, q))

Пример:

formt rar beta((1:10)’, 3) ans =

	0/0
	1/3
	1/12
	1/30
	1/60
	1/105
	1/168
	1/252
	1/360
	1/495
	1/660

В данном случае при целочисленных аргументах

beta(n, 3) = (n — 1)! * 2!/(n + 2)! = 2/((n * (n + 1) * (n + 2))

и представляет собой отношение двух сравнительно небольших целых чисел, так что представление результата в формате format rat оказывается точным.

Для x = 510 betaln(x, x) = -708.8616, что для компьютеров с IEEE-арифметикой немного меньше, чем log(realmin) = -708.3964, так что при вычислении функции beta(x, x) следует проявлять осторожность. Ccылки:

Ccылки:

Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

BESSEL — функции Бесселя

Синтаксис:

J = bessel(alpha, X)

Описание:

Линейное дифференциальное уравнение вида

где a — неотрицательная величина, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функции Бесселя.

Для вычисления функций Бесселя разработан набор M-файлов, обеспечивающий высокую точность их вычисления для действительных значений аргумента:

besselj(alpha, X) — функция Бесселя первого рода Ja(x);
bessely(alpha, X) — функция Бесселя второго рода Ya(x);
besseli(alpha, X) — модифицированная функция Бесселя первого рода I_a(x);
besselk(alpha, X) — модифицированная функция Бесселя второго рода K_a(x).

Сохранена также функция = bessela(alpha, Z), которая допускает комплексные значения аргумента и позволяет получать оценку количества правильных цифр результата. Значение digits, равное 14 или 15, соответствует максимальной точности IEEE- или VAX-арифметик; однако значение digits, равное единице или двум, означает, что результату доверять нельзя. Для значений alpha и x, не превышающих 50, количество точных цифр по крайней мере 8. На плоскости (alpha, x) область наименьшей точности расположена вблизи прямой alpha = x, так что малые alpha и большие x, и наоборот, дают более точные значения.

Функция J = bessel(alpha, X) вызывает:

функцию besselj(alpha, X), если X — массив действительных чисел;
функцию besseli(alpha, X), если X — массив чисто мнимых чисел;
функцию bessela(alpha, Z), если Z — массив комплексных чисел.

Примеры:

Функция besselj(3:9, (10:.2:20)’) генерирует таблицу размера 51 х 7, воспроизведенную на стр. 400 работы ;

функция bessely(3:9,(10:.2:20)’) генерирует таблицу размера 51 х 7, воспроизведенную на стр. 401 работы ;

функция besseli(3:9, , 1) генерирует таблицу размера 71 х 7, воспроизведенную на стр. 423 работы ;

функция besselk(3:9, , 1) генерирует таблицу размера 71 х 7, воспроизведенную на стр. 424 работы .

Оценим точность вычисления функции Бесселя для разных значений alpha и x.

alpha
25	50	75

12	14	14
14	7	9
15	10	2

Ccылки:

Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965.

1. Встроенная функция range.

Встроенная функция range() используется для построения числовых последовательностей. В примере используем команду и функцию range для выполнения ровно 10 итераций с выводом значения от 0 до 10.

>>> for x in range(10)
… print(x, end=’ ‘)
…0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

При передаче только одного аргумента, последовательность будет начинаться с 0 и до значения аргумента (10), не включая его. Одна из самых распространённых ошибок, это когда разработчик предполагает, что значение аргумента функции range включается в сгенерированную последовательность.

Приведем пример с двумя аргументами. Выведем последовательность от 20 до 30.

>>> for x in range(20, 30)
… print(x, end=’ ‘)
…20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

2.2. Создание числового списка с помощью функции range.

С помощью функции range удобно строить числовые списки.

>>> numbers = list(range(5, 25))
>>> print(numbers)

Функция range может создавать последовательности, пропуская числа в заданном диапазоне. Например, приведем пример построения списка от 0 до 100, с шагом 15.

>>> numbers = list(range(0, 100, 15))
>>> print(numbers)

С помощью цикла for и функции range можно создавать практически любой числовой список. К примеру, создадим список квадратов всех числе от 1 до 10. Операция возведения в степень обозначается двумя звездочками (**).

>>> a = []
>>> for i in range(1, 11)
… a.append(i**2)
…
>>> print(a)

На каждом цикле переменная возводится в квадрат и добавляется в список.

2.4. Перебор списка по индексам с помощью функции range

С помощью цикла и функции список можно перебирать по индексам и с каждым значением в списки, производить любые операции. Приведем пример, перебора списка по индексам, с помощью функции и функции, которая определяет длину списка.

>>> list_1 =
>>> index ((list_1)):
… list_1 += 100
…
>>> print(list_1)

В начале определим длину списка с помощью функции. Затем это значение передается функции. В нашем примере длина списка равна 6. С каждым проходом цикла , index принимает значения от 0 до 6 (не включая 6). В теле цикла мы вызываем список list_1 и обращаемся к элементам списка по индексам, равные значению переменной index. Каждое значение индекса мы увеличивает на 100. Затем с помощью функции print выводим список на экран и видим что все значения увеличены на 100.

С помощью индексов и функции мы можем объединять информацию из разных списков. В примере ниже мы имеем список с именами, а второй список с фамилиями. Выведем на экран имя и фамилию:

>>> list_4 =
>>> list_5 =
>>> index ((list_4)):
… print(list_4, list_5)
…Artem Ivanov
Serg Petrov
Georgy Sidorov
Petr Ulyanov

В результате получили общие данные на экране.

Аналогично можно создавать новые списки из двух или трех списков. Приведем пример перемножения трех списков:

>>> list_1 =
>>> list_2 =
>>> list_3 =
>>> list_new = []
>>> index ((list_1)):
… list_new.(list_1 * list_2 * list_3)
…
>>> print(list_new)

В начале мы создадим пустой новый список вне цикла, куда будем добавлять результат с помощью функции . В результате мы получим новый список с результатом перемножения предыдущих списков по индексам.

Важно помнить, что программа будет работать, если вы уверены, что списки одинаковой длины. Проверить это вы всегда можете с помощью встроенной функции .

Общие сведения

Формула Эйлера утверждает, что:

i — мнимая единица, то есть корень квадратный из -1;
e – экспонента, одна из важнейших математических констант, определяется выражением:

Формула, связывающая тригонометрические и функции экспоненциальные выражения, имеет множество применений. Она позволяет рассчитать некоторые выражения, решения которых невозможно или проблематично вычислить другим путём.

Необходимо лишь превратить исходные формулы в конструкцию, которая будет содержать удобные для проведения дальнейших операций функции.

История создания

Первым формулу опубликовал Роджер Котс, математик родом из Англии, в научном журнале, издаваемом Лондонским королевским обществом. Затем, формула была отображена в книге «Гармония мер», которую издали после смерти автора — в 1722 году. Котс не придал ей большого значения и отобразил среди геометрических построений. Чтоб полученное Котсом выражение приобрело привычный вид, необходимо исправить ошибку в знаке и перевести на современный язык описания математики.

Формулу в привычном для людей виде опубликовал Эйлер в статье 1740 года. В 1748 году выражение было также представлено в его книге «Введение в анализ бесконечно малых». Эйлер доказал формулу на основе бесконечных разложений составляющих формулы в степенные ряды.

Но учёные того времени не рассматривали геометрической интерпретации формулы, которая используется на сегодняшний день. Представление о комплексных числах в виде точек на комплексной плоскости, на основе которого строится геометрическая интерпретация равенства, появилось примерно на 50 лет позже в работах К. Весселя.

Доказательство формулы

Вывод формулы Эйлера можно выполнить, используя ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора при разложении функции в окрестности точки x=0. Раскладывая левую часть равенства, получится cтепенной ряд, в котором в различные степени будет возводиться мнимая единица. Необходимо вынести её, сформировав коэффициент перед x.

При расчёте степеней мнимой единицы удаётся получить интересный эффект: если степень чётная – можно её представить как умножение некоторого числа пар i*i, которые можно заменить на -1 (из определения мнимой единицы). А при умножении между собой отрицательных единиц возможны два случая, опять же исходя из чётности их количества. Если их число кратно 2, то получают просто единицу («минус на минус даёт плюс»). Если их нечётное число – получится -1.

Таким образом, чередование происходит дважды: по чётности степеней мнимой единицы, а следом – по чётности степеней -1, которые были получены вследствие первого шага. Получается циклическое изменение на каждые четыре члена суммы.

После разделения мнимых и вещественных членов последовательности и расстановки чередующихся знаков формируются две группы слагаемых, которые представляют собой разложения других функций – синуса и косинуса. При их подстановке получится равенство Эйлера.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида – эффективный метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Это самый старый алгоритм, который делит большее число на меньшее и берет остаток. Опять же, он делит меньшее число от остатка, и этот алгоритм непрерывно делит число, пока остаток не станет 0.

Например, предположим, что мы хотим вычислить HCF двух чисел, 60 и 48. Затем мы делим 60 на 48; он возвращает остаток 12. Теперь мы снова делим число 24 на 12, а затем он возвращает остаток 0. Таким образом, мы получаем HCF равным 12.

Псевдокод алгоритма Евклида

Шаг 1: Есть два целых числа, например a и b.

Шаг 2: Если a = 0, то НОД(a, b) равен b.

Шаг 3: Если b = 0, НОД(a, b) равен a.

Шаг 4: Найти mod b.

Шаг 5: Предположим, что a = b и b = R.

Шаг 6: Повторяйте шаги 4 и 3, пока mod b не станет равным или большим 0.

Шаг 7: GCD = b и затем распечатайте результат.

Шаг 8: Остановите программу.

Найдем HCF или GCD двух чисел, используя алгоритм Евклида в python.

Euclid.py

 
# Create a program to find the GCD of two number in python using the Euclid's Algorithm. 
def find_hcf(a,b): 
    while(b): 
        a, a = b, a % b 
        return a 
a = int(input(" Enter the first number: ") ) # take first no.  
b = int(input(" Enter the second number: ")) # take second no.  
num = find_hcf(a, b) # call the find_hcf() to get the result 
print("  The HCF of two number a and b is ") 
print(num) # call num

Выход:

Изучаю Python вместе с вами, читаю, собираю и записываю информацию опытных программистов.

Нерешенные проблемы

Гипотеза Лемера

Если p простое, то φ ( p ) = p — 1 . В 1932 году Д.Х. Лемер спросил, существуют ли какие-нибудь составные числа n такие, что φ ( n ) делит n — 1 . Никто не известен.

В 1933 году он доказал, что если такое n существует, оно должно быть нечетным, бесквадратным и делимым не менее чем на семь простых чисел (т.е. ω ( n ) ≥ 7 ). В 1980 году Коэн и Хагис доказали, что n > 10 20 и ω ( n ) ≥ 14 . Далее Хагис показал, что если 3 делит n, то n > 10 1937042 и ω ( n ) ≥ 298848 .

Гипотеза Кармайкла

Это заявляет , что нет никакого числа п с тем свойством , что для всех остальных чисел т , т ≠ п , ф ( т ) ≠ ф ( п ) . См выше.

Как указано в основной статье, если существует единственный контрпример к этой гипотезе, должно быть бесконечно много контрпримеров, а самый маленький из них имеет не менее десяти миллиардов цифр в базе 10.

toWeek(date[, mode][, timezone])

Переводит дату-с-временем или дату в число UInt8, содержащее номер недели. Второй аргументам mode задает режим, начинается ли неделя с воскресенья или с понедельника и должно ли возвращаемое значение находиться в диапазоне от 0 до 53 или от 1 до 53. Если аргумент mode опущен, то используется режим 0.

эквивалентно .

Описание режимов (mode):

Mode	Первый день недели	Диапазон	Неделя 1 это первая неделя …
Воскресенье	0-53	с воскресеньем в этом году
1	Понедельник	0-53	с 4-мя или более днями в этом году
2	Воскресенье	1-53	с воскресеньем в этом году
3	Понедельник	1-53	с 4-мя или более днями в этом году
4	Воскресенье	0-53	с 4-мя или более днями в этом году
5	Понедельник	0-53	с понедельником в этом году
6	Воскресенье	1-53	с 4-мя или более днями в этом году
7	Понедельник	1-53	с понедельником в этом году
8	Воскресенье	1-53	содержащая 1 января
9	Понедельник	1-53	содержащая 1 января

Для режимов со значением «с 4 или более днями в этом году» недели нумеруются в соответствии с ISO 8601:1988:

Если неделя, содержащая 1 января, имеет 4 или более дней в новом году, это неделя 1.
В противном случае это последняя неделя предыдущего года, а следующая неделя — неделя 1.

Для режимов со значением «содержит 1 января», неделя 1 – это неделя содержащая 1 января. Не имеет значения, сколько дней в новом году содержала неделя, даже если она содержала только один день.

Пример

Запрос:

Результат:

История

Константа впервые появилась в 1734 году в статье швейцарского математика Леонхарда Эйлера под названием De Progressionibusharmonicis Наблюдения (Eneström Index 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения A и a для константы. Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позже, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией . Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году, а Август де Морган использовал его в учебнике, опубликованном частями с 1836 по 1842 год.

Приложения

Циклотомия

В последнем разделе « Исследований» Гаусс доказывает, что правильный n -угольник можно построить с помощью линейки и циркуля, если φ ( n ) является степенью 2. Если n является степенью нечетного простого числа, формула для totient говорит, что его totient может быть степенью двойки, только если n — первая степень, а n — 1 — степень 2. Простые числа, которые на единицу больше, чем степень двойки, называются простыми числами Ферма , и известны только пять: 3, 5, 17, 257 и 65537. Ферма и Гаусс знали об этом. Никто не смог доказать, есть ли еще.

Таким образом, правильный n -угольник имеет конструкцию линейки и циркуля, если n является произведением различных простых чисел Ферма и любой степени 2. Первые несколько таких n равны

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, … (последовательность A003401 в OEIS ).

Криптосистема RSA

Настройка системы RSA включает выбор больших простых чисел p и q , вычисление n = pq и k = φ ( n ) и нахождение двух чисел e и d, таких что ed ≡ 1 (mod k ) . Числа n и e («ключ шифрования») публикуются, а d («ключ дешифрования») остается закрытым.

Сообщение, представленное целым числом m , где 0 < m < n , шифруется путем вычисления S = m e (mod n ) .

Он расшифровывается путем вычисления t = S d (mod n ) . Теорема Эйлера может быть использована, чтобы показать, что если 0 < t < n , то t = m .

Безопасность системы RSA будет поставлена под угрозу, если число n может быть разложено на множители или если φ ( n ) может быть вычислен без факторизации n .

использованная литература

» Disquisitiones Arithmeticae» переведена с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все работы Гаусса по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

Ссылки на Disquisitiones имеют форму Gauss, DA, art. nnn .

. См. Параграф 24.3.2.
Диксон, Леонард Юджин, «История теории чисел», том 1, глава 5 «Функция Эйлера, обобщения; ряд Фарея», Chelsea Publishing, 1952 г.
.
Гаусс, Карл Фридрих ; Кларк, Артур А. (переводчик на английский язык) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (второе, исправленное издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-96254-9
Гаусс, Карл Фридрих ; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание) , Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8
Харди, GH ; Райт, EM (1979), Введение в теорию чисел (пятое изд.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
Сандифер, Чарльз (2007), Ранняя математика Леонарда Эйлера , MAA, ISBN 0-88385-559-3
.

What is Euler’s Method?

The Euler method (also known as the forward Euler method) is a first-order numerical method used to solve ordinary differential equations (ODE) with specific initial values. This is the most explicit method for the numerical integration of ordinary differential equations.

However, an Online E Calculator that allows you to calculate the value of e to the power of x. Here “X” can be any power or a number value of your choice and e is the exponent.

Euler’s Method Formula:

Many different methods can be used to approximate the solution of differential equations. So, understand the Euler formula, which is used by Euler’s method calculator, and this is one of the easiest and best ways to differentiate the equations. Curiously, this method and formula originally invented by Eulerian are called the Euler method.

$$A_n = A_{n-1} + hA (B_{n-1}, A_{n-1})$$

Example:

Given the initial value problem

x’= x, x(0)=1,

For four steps the Euler method to approximate x(4).

Using step size which is equal to 1 (h = 1)

The Euler’s method equation is $x_{n+1} = x_n +hf(t_n,x_n)$, so first compute the $f(t_{0},x_{0})$.

Then, the function (f) is defined by f(t,x)=x:

$$f(t_{0},x_{0})=f(0,1)=1.$$

The slope of the line, which is tangent to the curve at the points (0,1). So, the slope is the change in x divided by the change in t or Δx/Δt.

multiply the above value with the step size h:

$$f(x_0) = 1 . 1 = 1$$

Since the step is the change in the t, when multiplying the slope of the tangent and the step size, we get a change in x value.

By substituting the initial x value in the euler method formula to find the next value. Also, you can find these values with euler’s method calculator.

$$x_0 + hf(x_0) = x_1 = 1 + 1 . 1 = 2$$

By repeating the above steps to find x_{2},x_{3} and x_{4}.

$$x_2 = x_1 + hf(x_1) = 2 + 1 . 2 = 4$$

$$x_3 = x_2 + hf(x_2) = 4 + 1 . 4 = 8$$

$$x_4 = x_3 + hf(x_3) = 8 + 1 . 8 = 16$$

Due to the repetitive nature of this eulers method, it can be helpful to organize all computation in an Euler’s method table.

Step	X_0	slope	X_n
1	1	1	2
2	2	2	4
3	4	4	8
4	8	8	16

Hence, the calculation is that x_{4}=16. The exact solution of this differential equation is: $$x(t)=e^{t}, so x(4)=e^{4} = 54.598$$

However, an Online Linear Approximation Calculator helps you to calculate the linear approximations of either parametric, polar, or explicit curves at any given point.

Функции [math]\sigma(n)[/math], [math]\tau(n)[/math] и [math]\varphi(n)[/math], их мультипликативность и значения[править]

Каноническое разложение числа , где — количество простых делителей числа , — -ый простой делитель, — максимальная степень вхождения этого простого делителя.

Функция править

Функция определяется как сумма делителей натурального числа :

Если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и делителей , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна:

Для простого числа легко посчитать . При этом легко обобщается для некоторой степени :

В силу мультипликативности функции:

Функция править

Функция определяется как число положительных делителей натурального числа :

Для простого числа легко посчитать . При этом легко обобщается для некоторой степени :

В силу мультипликативности функции:

Функция править

Для простого числа легко посчитать . На некоторую степень формулу можно обобщить:

Обосновывается следующим образом: Все не взаимно простые с числа в диапазоне от 1 до , очевидно, кратны . Всего таких чисел .

В силу мультипликативности функции:

Totient числа

Номер totient является значением Функция Эйлера: то есть, т , для которых имеется по меньшей мере один п , для которых ф ( п ) = т . Валентность или кратность из числа totient т есть число решений этого уравнения. Нетотиентное число представляет собой натуральное число , которое не является числом totient. Каждое нечетное целое число, превышающее 1, тривиально неточность. Существует также бесконечно много четных не значащих элементов, и действительно, каждое положительное целое число имеет кратное, которое не является четным.

Количество общих чисел до заданного предела x равно

Иксбревно⁡Иксе(C+о(1))(бревно⁡бревно⁡бревно⁡Икс)2{\ displaystyle {\ frac {x} {\ log x}} e ^ {\ big (} C + o (1) {\ big)} (\ log \ log \ log x) ^ {2}}}

для постоянной C = 0.8178146 … .

Если считать по кратности, количество общих чисел до заданного предела x равно

|{пφ(п)≤Икс}|знак равноζ(2)ζ(3)ζ(6)⋅Икс+р(Икс){\ displaystyle {\ Big \ vert} \ {n: \ varphi (n) \ leq x \} {\ Big \ vert} = {\ frac {\ zeta (2) \ zeta (3)} {\ zeta (6 )}} \ cdot x + R (x)}

где погрешность R порядка не болееИкс(журнал x ) kдля любого положительного k .

Известно, что кратность m бесконечно часто превышает m δ при любом δ <0,55655 .

Теорема Форда

доказал, что для любого целого числа k ≥ 2 существует общее число m кратности k : то есть, для которого уравнение φ ( n ) = m имеет ровно k решений; этот результат был ранее высказали предположение по Серпинскому , и оно было получено в результате Шинцель в гипотезе H . В самом деле, каждая возникающая множественность происходит бесконечно часто.

Однако неизвестно число m с кратностью k = 1 . Гипотеза Кармайкла о тотализирующей функции — это утверждение, что такой m не существует .

CEIL, FIX, FLOOR, ROUND — функции округления

Синтаксис:

Y = ceil(X) Y = fix(X) Y = floor(X) Y = round(X)

Описание:

Для массивов действительных чисел X:

функция Y = ceil(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого >=X;
функция Y = fix(X) возвращает значения с усечением дробной части числа;
функция Y = floor(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого<= X;
функция Y = round(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого.

Для массивов комплексных чисел Z эти функции применяются одновременно к действительной и мнимой частям.

Примеры:

Задан одномерный массив действительных чисел

x = ;

ceil(x)	ans = -1 0 4 6 7		fix(x)	ans = -1 0 3 5 7
floor(x)	ans = -2 -1 3 5 7		round(x)	ans = -2 0 3 6 7

Цикл for в Python.

У нас есть список и для того, чтобы не обращаться к каждому элементу по отдельности, мы можем воспользоваться циклом for. В следующем примере переберем список с брендами автомобилей.

>>> cars =
>>> for brend in cars
… print(brend) # отступ в 4 пробела
…ford
opel
audi
land rover
bmw

Во второй строке кода определяется цикл for. Python берет каждую торговую марку из списка и сохраняет его в переменной brend. После двоеточия код на следующей строке должен начинается с 4 пробелами. С помощью функции , название марки выводится в переменной brand. Затем код повторяется до тех пор, пока не закончатся элементы в списке.

1.2. Аргумент end фунции print.

Функция выводит свой аргумент, после чего курсор перемещает на следующую строку, но при большом количестве элементов в списке, не всегда это удобно. Можно воспользоваться аргументом end, записав его после переменной.

>>> cars =
>>> for brend in cars
… print(brend, end=’ ‘) # отступ в 4 пробела
…ford opel audi land rover bmw

Аргумент end записывается в виде end=’ ‘. Какое количество пробелов вы укажите, такое и будет после выводится между переменными.

1.3. Действия во время выполнения цикла for.

Во время цикла помимо вывода элементов, с ними можно выполнять различные действия. К примеру, можно выводить сообщения с каждым проходом цикла, для этого воспользуемся .

>>> cars =
>>> for brend in cars
… print(f»Автомобили торговой марки {brend.title()} очень надежные»)
…Автомобили торговой марки Ford очень надежные
Автомобили торговой марки Opel очень надежные
Автомобили торговой марки Audi очень надежные
Автомобили торговой марки Land Rover очень надежные
Автомобили торговой марки Bmw очень надежные

Со строками цикл for работает также как и со списком.

>>> mesage = ‘Hello World!’
>>> for i in mesage
… print(i * 5, end=’ ‘)
…HHHHH eeeee lllll lllll ooooo WWWWW ooooo rrrrr lllll ddddd !!!!!

1.4. Основные ошибки с циклом for.

В Python связь одной строки кода с предшествующей строкой обозначается отступами. В больших программах встречаются блоки кода с отступами в несколько разных уровней. Благодаря отступам, сильно упрощается чтение кода. Основные ошибки как раз и складываются из ошибок в пропущенных или лишних отступах.

Пропущенный отступ.

>>> mesage = ‘Hello World!’
>>> for i in mesage
… print(i * 5, end=’ ‘) # нет отступа в 4 пробела
File «<stdin>», line 2
print(i * 5, end=’ ‘)
^IndentationError: expected an indented block

Для устранения этой ошибки, достаточно поставить в следующей строке после команды for 4 пробела. В основном, если вы работаете в любом современном текстовом редакторе, то после двоеточия он сам поставит отступы на следующей строке.

Лишний отступ.
Пропущенное двоеточие.

RAT, RATS — представление результата в виде рационального числа или цепной дроби

Синтаксис:

	= rat(X)	rat(X)	S = rats(X)
	= rat(X, tol)	rat(X, tol)	S = rats(X, tol)

Описание:

Несмотря на то что все числа с плавающей точкой представлены в ком-пьютере в виде рациональных чисел, иногда целесообразно представить число в виде отношения двух относительно небольших целых чисел. Такое представление на основе цепных дробей и реализуется с использованием вышеперечисленных функций.

Функция = rat(X) определяет для входа x два таких целых числа n и d, при которых выполняется условие n/d — x <= 1e-6*abs(x).

Функция = rat(X, tol) позволяет указать точность приближения tol, отличную от 1e-6.

Функции rat(X) и rat(X, tol) позволяют вывести на экран результат в виде цепной дроби.

Если в качестве входа задан массив чисел X, то результатом операций будут массивы соответствующего размера.

Функция S = rats(X, k) использует функцию rat(X), чтобы вывести на экран результат в виде простой дробиs = [sprintf([‘%’ num2str(fix(k/2)), n) ‘/’ sprintf([‘%-‘ num2str(fix(k/2)) ‘.0f’], d)], точность аппроксимации для которой составляет tol = 10^(-fix(k/2)) * abs(x).

Для функции S = rats(X) точность аппроксимации принимается по умолчанию равной 1e-6* abs(x), что соответствует значению k = 13.

Функция format rat равносильна функции rats.

Алгоритм:

Функция rat(X) аппроксимирует каждый элемент массива X цепной дробью следующего вид:

Величины dk получены последовательным выделением целой части с последующим обращением дробной части. Точность аппроксимации возрастает по степенному закону с ростом числа членов. Самая медленная сходимость наблюдается при рациональной аппроксимации числа x = sqrt(2). Погрешность аппроксимации с учетом k членов составляет 2.68 * (0.173)^k, так что учет каждого последующего члена увеличивает точность менее чем на одну десятичную цифру, так что для достижения максимальной точности в арифметике с плавающей точкой требуется 21 член.

Примеры:

Рассмотрим аппроксимацию числа p в виде цепной дроби и рационального числа

rat(pi)ans = 3 + 1/(7 + 1/(16))rat(pi, 1e-12)ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/(-294 + 1/(3 + 1/(-4 + 1/(5))))))=rat(pi);ans = 355 113=rat(pi, 1e-12);ans = 5419351 1725033 s = rats(pi)s = 355/113s = rats(pi, 26)s = 5419351/1725033

date_diff

Вычисляет разницу между двумя значениями дат или дат со временем.

Синтаксис

Синонимы: , .

Аргументы

— единица измерения времени, в которой будет выражено возвращаемое значение функции. String.
Возможные значения:
— первая дата или дата со временем, которая вычитается из . Date или DateTime.
— вторая дата или дата со временем, из которой вычитается . Date или DateTime.
— (необязательно). Если этот аргумент указан, то он применяется как для , так и для . Если этот аргумент не указан, то используются часовые пояса аргументов и . Если часовые пояса аргументов и не совпадают, то результат не определен. String.

Возвращаемое значение

Разница между и , выраженная в .

Тип: Int.

Пример

Запрос:

Результат: